Русская Википедия:Множество раздела
Материал из Онлайн справочника
Множество раздела точки <math>p</math> в римановом многообразии <math>M</math> — подмножество точек <math>\operatorname{C}_p\subset M</math>, через которые не проходит ни одна кратчайшая из <math>p</math>.
Множество раздела также называется катлокус, от Шаблон:Lang-en.
Примеры
- Множество раздела точки <math>p</math> стандартной сферы состоит из точки, противоположной <math>p</math>.
- Множество раздела точки на поверхности бесконечного кругового цилиндра — прямая, параллельная оси цилиндра, проходящая по поверхности цилиндра со стороны, противоположной выбранной точке.
Свойства
- Множество раздела — замкнутое множество.
- Множество раздела имеет нулевой объём.
- Подмножество <math>M\backslash \operatorname{C}_p</math> диффеоморфно шару.
- Если между точками <math>p</math> и <math>q</math> существуют две различные кратчайшие, то <math>p\in \operatorname{C}_q</math> и <math>q\in \operatorname{C}_p</math>.
- Если <math>p\in \operatorname{C}_q</math> и кратчайшая <math>\gamma</math> между точками <math>p</math> и <math>q</math> единственна, то они являются сопряжёнными на продолжении <math>\gamma</math>.
- Если <math>M</math> — аналитическое риманово многообразие, то множество раздела <math>\operatorname{C}_p</math> допускает локально конечную триангуляцию на открытые аналитические симплексы.
- Без аналитичности <math>M</math> множество <math>\operatorname{C}_p</math> может быть даже нетриангулируемым.
- Расстояние от точки до её множества раздела равно радиусу инъективности этой точки.
См. также
Литература
