Русская Википедия:Распределение (дифференциальная геометрия)
Шаблон:Значения Распределением на многообразии <math>M</math> называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке <math>x\in M</math> выбрано линейное подпространство <math>\Delta_x</math> касательного пространства <math>T_x M</math> которое гладко зависит от точки <math>x</math>.
Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.
Определение
Пусть <math>M</math> — гладкое <math>n</math>-мерное многообразие и <math>k \leq n</math>. Предположим, что в каждой точке <math>x \in M</math> выбрано <math>k</math>-мерное подпространство <math>\Delta_x \subset T_x(M)</math> касательного пространства такое, что у любой точки <math>x\in M</math> существует окрестность <math>U_x \subset M</math> и <math>k</math> линейно независимых гладких векторных полей <math>X_1,\ldots,X_k</math>, причем для любой точки <math>y \in U_x</math>, векторы <math>X_1(y),\ldots,X_k(y)</math> составляют базис подпространства <math>\Delta_y \subset T_y(M)</math>.
В этом случае, совокупность <math>\Delta</math> всех подпространств <math>\Delta_x</math>, <math>x \in M</math>, называется <math>k</math>-мерным распределением на многообразии <math>M</math>.
При этом векторные поля <math>\{ X_1,\ldots,X_k \}</math> называется локальным базисом распределения <math>\Delta.</math>
Инволютивные распределения
Распределение <math>\Delta</math> на <math>M</math> называется инволютивным, если в окрестности каждой точки <math>x \in M</math> существует локальный базис распределения <math>\{ X_1,\ldots,X_k \}</math> такой, что все скобки Ли векторных полей <math>[X_i,X_j]</math> принадлежат линейной оболочке <math>\{ X_1,\ldots,X_k \}</math>, то есть <math>[X_i,X_j]</math> являются линейными комбинациями векторов <math>\{ X_1,\ldots,X_k \}.</math> Условие инволютивности распределения <math>\Delta</math> записывается как <math>[ \Delta , \Delta ] \subset \Delta</math>.
Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.
Задание распределения системой 1-форм
На открытом множестве <math>U\subset M</math> <math>k</math>-мерное распределение <math>\Delta</math> может быть задано системой гладких 1-форм <math>\omega_1,\dots,\omega_{n-k}</math>, определенных в <math>U</math> и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями <math>\omega_i(\xi)=0</math>. Если <math>\{\omega_1\dots,\omega_{n-k}\}</math> и <math>\{\omega_1',\dots,\omega_{n-k}'\}</math> — системы 1-форм, определяющие распределение <math>\Delta</math> в <math>U</math> и в <math>U'</math>, то в пересечении <math>U\cap U'</math> форма <math>\omega_i=\sum\phi_{ij}\omega_j</math>, где <math>\phi_{ij}</math> — такие гладкие функции, что <math>\det(\phi_{ij})\ne 0</math> в <math>U\cap U'</math>. Если <math>U=M</math>, говорят, что задана глобальная определяющая система форм.
Интегрируемость распределения
<math>k</math>-мерное распределение называется интегрируемым, если через каждую точку <math>x\in M</math> проходит <math>k</math>-мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.
Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
В <math>k</math>-мерном случае, <math>k>1</math>, существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.
Теорема Фробениуса в терминах векторных полей
Теорема: <math>k</math>-мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.
Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.
Теорема Фробениуса в терминах 1-форм
Теорема: <math>k</math>-мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм <math>\omega_1,\dots,\omega_{n-k}</math>, интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал
<math>d\omega_i=\sum_j \eta_j^{i}\wedge \omega_j</math>,
где <math>\eta_j^{i}</math> — гладкие 1-формы. Если определяющие формы <math>\omega_{i}</math> независимы, это условие эквивалентно системе
<math>\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_{n-k}\wedge d\omega_i=0</math>.
Интегрируемое распределение <math>\Delta</math> определяет слоение на многообразии <math>M</math>: его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что <math>1</math>-мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает <math>1</math>-мерное слоение.
Теорема Тёрстона
Теорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому [1], [2].
Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером[3].
См. также
Примечания
- ↑ W. Thurston, The theory of foliations of codimension greater than one — Comm. Math. Helv., 49 (1974), pp. 214–231.
- ↑ W. Thurston, Existence of codimension one foliations — Ann. of Math., 104:2 (1976), pp. 249–268.
- ↑ A. Haefliger, Feuilletages sur les variétés ouvertes — Topology, 9:2 (1970), pp. 183–194.
Литература
