Русская Википедия:Аффинный шифр

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Аффинный шифр — это частный случай более общего моноалфавитного шифра подстановки. К шифрам подстановки относятся также шифр Цезаря, ROT13 и Атбаш. Поскольку аффинный шифр легко дешифровать, он обладает слабыми криптографическими свойствами.

Описание

В аффинном шифре каждой букве алфавита размера <math>m</math> ставится в соответствие число из диапазона <math>0 .. m-1</math>. Затем при помощи модульной арифметики для каждого числа, соответствующего букве исходного алфавита, вычисляется новое число, которое заменит старое в шифротексте. Функция шифрования для каждой буквы

<math>\mbox{E}(x)=(ax+b)\mod{m},</math>

где модуль <math>m</math> — размер алфавита, а пара <math>a</math> и <math>b</math> — ключ шифра. Значение <math>a</math> должно быть выбрано таким, что <math>a</math> и <math>m</math> — взаимно простые числа. Функция расшифрования

<math>\mbox{D}(x)=a^{-1}(x-b)\mod{m},</math>

где <math>a^{-1}</math> — обратное к <math>a</math> число по модулю <math>m</math>. То есть оно удовлетворяет уравнению

<math>1 = a a^{-1}\mod{m}.</math>

Обратное к <math>a</math> число существует только в том случае, когда <math>a</math> и <math>m</math> — взаимно простые. Значит, при отсутствии ограничений на выбор числа <math>a</math> расшифрование может оказаться невозможным. Покажем, что функция расшифрования является обратной к функции шифрования

<math>\begin{matrix}\mbox{D}(\mbox{E}(x)) &= &a^{-1}(\mbox{E}(x)-b)\mod{m}\\

                            &= &a^{-1}(((ax+b)\mod{m})-b)\mod{m} \\
                            &= &a^{-1}(ax+b-b)\mod{m} \\
                            &= &a^{-1}ax \mod{m}\\
                            & = &x\mod{m}.

\end{matrix}</math>

Количество возможных ключей для аффинного шифра можно записать через функцию Эйлера как <math>\varphi(m)m</math>.

Примеры шифрования и расшифрования

В следующих примерах используются латинские буквы от A до Z, соответствующие им численные значения приведены в таблице.

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Шифрование

В этом примере необходимо зашифровать сообщение «ATTACK AT DAWN», используя упомянутое выше соответствие между буквами и числами, и значения <math>a=3</math>, <math>b=4</math> и <math>m=26</math>, так как в используемом алфавите 26 букв. Только на число <math>a</math> наложены ограничения, так как оно должно быть взаимно простым с 26. Возможные значения <math>a</math>: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 и 25. Значение <math>b</math> может быть любым, только если <math>a</math> не равно единице, так как это сдвиг шифра. Итак, для нашего примера функция шифрования <math> y=E(x)=(3x+4)\pmod{26}</math>. Первый шаг шифрования — запись чисел, соответствующих каждой букве сообщения.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
<math>x</math>	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13

Теперь, для каждого значения <math>x</math> найдем значение <math>(3x+4)</math>. После нахождения значения <math>(3x+4)</math> для каждого символа возьмем остаток от деления <math>(3x+4)</math> на 26. Следующая таблица показывает первые четыре шага процесса шифрования.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
<math>x</math>	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
<math>3x+4</math>	4	61	61	4	10	34	4	61	13	4	70	43
<math>(3x+4)\pmod{26}</math>	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17

Последний шаг процесса шифрования заключается в подстановке вместо каждого числа соответствующей ему буквы. В этом примере шифротекст будет «EJJEKIEJNESR». Таблица ниже показывает все шаги по шифрованию сообщения аффинным шифром.

сообщение	A	T	T	А	C	K	A	T	D	A	W	N
<math>x</math>	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
<math>3x+4</math>	4	61	61	4	10	34	4	61	13	4	70	43
<math>(3x+4)\pmod{26}</math>	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R

Расшифрование

Для расшифрования возьмем шифротекст из примера с шифрованием. Функция расшифрования будет <math>\mbox{D}(y)=a^{-1}(y+m-b)\mbox{ mod }m</math>, где <math>a^{-1}=9</math>, <math>b=4</math> и <math>m=26</math>.

Замечание: если каждая <math>y \geqslant b</math>, то функция расшифрования принимает вид <math>\mbox{D}(y)=a^{-1}(y-b)\mbox{ mod }m</math>. (Точно так же, как и в обозреваемом примере, но разберём общий вариант)

Для начала запишем численные значения для каждой буквы шифротекста, как показано в таблице ниже.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
<math>y</math>	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17

Теперь для каждого <math>y</math> необходимо рассчитать <math>9(y+m-4)</math> и взять остаток от деления этого числа на 26. таблица показывает результат этих вычислений.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
<math>y</math>	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
<math>9(y+26-4)</math>	234	279	279	234	288	270	234	279	315	234	360	351
<math>9(y+26-4)\pmod{26}</math>	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13

Последний шаг операции расшифрования для шифротекста — поставить в соответствие числам буквы. Сообщение после расшифрования будет «ATTACKATDAWN». Таблица ниже показывает выполнение последнего шага.

шифротекст	E	J	J	E	K	I	E	J	N	E	S	R
<math>y</math>	4	9	9	4	10	8	4	9	13	4	18	17
<math>9(y+26-4)</math>	234	279	279	234	288	270	234	279	315	234	360	351
<math>9(y+26-4)\pmod{26}</math>	0	19	19	0	2	10	0	19	3	0	22	13
сообщение	A	T	T	A	C	K	A	T	D	A	W	N

programming language

Криптоанализ

Так как аффинный шифр является по сути моноалфавитным шифром замены, то он обладает всеми уязвимостями этого класса шифров. Шифр Цезаря — это аффинный шифр с <math>a=1</math>, что сводит функцию шифрования к простому линейному сдвигу.

В случае шифрования сообщений на русском языке (т.е. <math>m=33</math>) существует 297 нетривиальных аффинных шифров, не учитывая 33 тривиальных шифра Цезаря. Это число легко посчитать, зная, что существует всего 20 чисел взаимно простых с 33 и меньших 33 (а это и есть возможные значения <math>a</math>). Каждому значению <math>a</math> могут соответствовать 33 разных дополнительных сдвига (значение <math>b</math>); то есть всего существует 20*33 или 660 возможных ключей. Аналогично, для сообщений на английском языке (т.е. <math>m=26</math>) всего существует 12*26 или 312 возможных ключей. Такое ограниченное количество ключей приводит к тому, что система крайне не криптостойка с точки зрения принципа Керкгоффса.

Основная уязвимость шифра заключается в том, что криптоаналитик может выяснить (путём частотного анализа, полного перебора, угадывания или каким-либо другим способом) соответствие между двумя любыми буквами исходного текста и шифротекста. Тогда ключ может быть найден путём решения системы уравнений. Кроме того, так мы знаем, что <math>a</math> и <math>m</math> — взаимно простые, это позволяет уменьшить количество проверяемых ключей для полного перебора.

Преобразование, подобное аффинному шифру, используется в линейном конгруэнтном методе (разновидности генератора псевдослучайных чисел). Этот метод не является криптостойким по той же причине, что и аффинный шифр.