Русская Википедия:Жёсткость Мостова
Материал из Онлайн справочника
Жёсткость Мостова утверждает, что геометрия гиперболического многообразия конечного объёма в размерностях, начиная с трёх, полностью определяется его фундаментальной группой.
История
Для замкнутых многообразий теорема была доказана Джорджем Мостовым в 1968 году. Обобщена на многообразия конечного объёма размерности Марденом и Шаблон:Нп2. Громов дал другое доказательство — основанное на симплициальном объёме.
До этого Вейль доказал тесно связаные утверждения. В частности то, что кокомпактные действия дискретных групп изометрий гиперболического пространства размерности не менее 3 не допускают нетривиальных деформаций.
Формулировки
Геометрическая формулировка
- Пусть M и N — полные гиперболические n-мерные многообразия конечного объёма с n≥3. Тогда любой изоморфизм f: π1(M) → π1(N) индуцируется изометрией M → N.
Здесь π1(M) обозначает фундаментальную группу многообразия M.
Алгебраическая формулировка
- Пусть Γ и Δ — дискретные подгруппы группы G изометрий n-мерного гиперболического пространства H с n≥3, чьи факторпространства H/Γ и H/Δ имеют конечные объёмы. Тогда изоморфность Γ и Δ как дискретных групп влечёт их сопряжённость в G.
Приложения
- Группа изометрий конечных объёмов гиперболических n-многообразия M (для n≥3) конечна и изоморфна группе внешних автоморфизмов π1(M).
- Теорема об упаковке кругов
Ссылки
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation. (Provides a survey of a large variety of rigidity theorems, including those concerning Lie groups, algebraic groups and dynamics of flows. Includes 230 references.)
- Шаблон:Citation. (Gives two proofs: one similar to Mostow’s original proof, and another based on the Gromov norm)
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
