Решение систем уравнений: метод подстановки и метод сложения[1]
Что такое одновременные уравнения и системы уравнений?
Термины «одновременные уравнения» и «системы уравнений» относятся к условиям, когда две или более неизвестные переменные связаны друг с другом через равное количество уравнений.
Пример:
Рис. 1. Пример системы из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными.
Для этого набора уравнений существует только одна комбинация значений x и y, которая удовлетворяет обоим равенствам.
Если любое уравнение рассматривать отдельно от остальных, то оно имеет бесконечное число правильных (x, y) решений. Если же рассматривать всю систему уравнений целиком, то будет только одно решение. Если систему уравнений изобразить на графике, то это условие становится очевидным:
Рис. 2. По отдельности каждое уравнение имеет бесконечное множество решений, но вся система имеет единственное решение, являющееся точкой пересечения.
Каждая прямая линия на самом деле представляет собой континуум точек, представляющих всевозможные пары решений x и y для каждого уравнения.
Каждое уравнение в отдельности имеет бесконечное число упорядоченных парных (x, y) решений. Существует только одна точка, в которой две линейные функции x + y = 24 и 2x - y = -6 пересекаются (где только одно из их многочисленных независимых решений работает для обоих уравнений), и именно в этой точке x равно значению 6, а у равно значению 18.
Однако, как правило, построение графиков не является оптимальным способом решения системы из двух или более уравнений. Это особенно нецелесообразно для систем с тремя и более переменными.
В системе с тремя переменными, например, решение будет найдено в точке пересечения не трёх прямых, а трёх плоскостей в трёхмерном координатном пространстве – сценарий, который весьма непросто визуализировать.
Решение системы уравнений методом подстановки
Существует несколько алгебраических методов решения систем уравнений.
Пожалуй, самым простым для понимания является метод подстановки.
Возьмём, к примеру, нашу первоначальную задачу с двумя переменными:
Рис. 3. Решим эту систему уравнений методом подстановки.
В методе подстановки мы тождественно преобразовываем одно из уравнений таким образом, чтобы определить одну переменную через другую:
Рис. 4. В одном из уравнений определим одну переменную через другую.
Затем берём это полученное определение одной переменной и заменяем его на ту же переменную в другом уравнении.
В данном случае мы берём определение y, которое равно 24 - x, и заменяем его на член y, найденный в другом уравнении:
Рис. 5. Полученное в 1-м уравнении y, выраженное через x, заменим во 2-м уравнении.
Теперь, когда есть уравнение только с одной переменной (x), его можно решить, используя «обычные» алгебраические методы:
Рис. 6. Уравнение с одной переменной легко решается в несколько несложных шагов.
Теперь, когда x известен, мы можем подставить это значение в любое из исходных уравнений и получить значение для y.
Или, чтобы избавить нас от некоторой работы, мы можем подставить это значение (6) в уравнение, которое создали, когда определили y через x, поскольку оно уже находится в том виде, которое позволяет получить y:
Рис. 7. Вычислив x, находим y (ранее выраженное через x).
Применение метода подстановки к системам с тремя или более переменными включает в себя аналогичную схему, только требует больше усилий.
В общем случае это верно для любого метода решения: количество шагов, необходимых для получения решения, быстро увеличивается с каждой дополнительной переменной в системе.
Чтобы решить для трёх неизвестных переменных, нам нужно как минимум три уравнения. Рассмотрим вот такой пример:
Рис. 8. Решим эту систему из 3-х уравнений для 3-х переменных.
Поскольку первое уравнение имеет самые простые коэффициенты (1, -1 и 1 для x, y и z соответственно), кажется логичным использовать именно его для того, чтобы одну из переменных выразить через две другие.
Итак, в первом уравнении решим x через y и z:
Рис. 9. Выразим x через y и z.
Теперь мы можем подставить это определение вместо x в двух других уравнениях:
Рис. 10. Подставим (выраженное x через y и z) в другие два уравнения.
Затем упростим эти два уравнения:
Рис. 11. Упрощаем эти два уравнения, где x выразили через y и z.
Пока что наши усилия привели к сокращению системы из трёх уравнений от трёх переменных к системе из двух уравнений от двух переменных.
Теперь можно снова применить технику подстановки к двум уравнениям 4y - z = 4 и -3y + 4z = 36, чтобы выразить либо y, либо z. Из этих двух уравнений возьмём первое, чтобы определить z через y:
Рис. 12. В упростившейся системе из 2-х уравнений выразим z через y.
Затем мы заменим это определение z через y, вместо z в другом уравнении:
Рис. 13. Находим y, во 2-м уравнении вместо z подставив определение z через y.
Теперь, когда y известно, подставим его в уравнение, определяющее z через y, и получаем значение z:
Рис. 14. Зная y, находим z.
Теперь, зная значения y и z, подставим их в то уравнение, где мы вначале определили x через y и z, чтобы получить значение x:
Рис. 15. Зная y и z, находим x.
В итоге мы нашли значения x, y и z, равные 2, 4 и 12 соответственно, которые удовлетворяют всем трём уравнениям.
Решение систем уравнений методом сложения
Хотя метод подстановки, возможно, наиболее прост для понимания на концептуальном уровне, есть и другие методы решения.
Одним из таких методов является так называемый метод сложения, при котором уравнения складываются друг с другом с целью сокращения переменных.
Возьмём нашу систему с двумя переменными, используемую для демонстрации метода подстановки:
Рис. 16. Снова решим эту систему уравнений, но другим способом.
Одним из наиболее часто используемых правил алгебры является то, что вы можете выполнять любую арифметическую операцию над уравнением, если вы проделываете её одинаково с обеими частями.
Применительно к сложению это означает, что мы можем добавлять любое число, какое пожелаем, к обеим частям уравнения – при условии, что это одно и то же количество – и это не повлияет на истинность уравнения.
Таким образом, у нас есть возможность сложить соответствующие части уравнений вместе, формируя новое уравнение.
Поскольку каждое уравнение является выражением равенства (одна и та же величина по обе стороны от знака «=»), сложение левой части одного уравнения с левой частью другого уравнения справедливо до тех пор, пока мы складываем для обоих уравнений и их правые части.
В нашем случае, например, можно сложить x + y к 2x - y, а также сложить 24 и -6, чтобы сформировать новое уравнение.
Какая от этого прок? Посмотрите, что происходит, когда мы делаем это с нашей системой уравнений, взятой в качестве первого примера:
Рис. 17. В системе из 2-х уравнений 1-е уравнение складываем со 2-м.
Так как верхнее уравнение содержало положительный член y, а нижнее уравнение содержало отрицательный член y, эти два слагаемых сокращаются при сложении, вообще не оставляя члена с y в итоговой сумме.
У нас теперь новое уравнение, но только с одной неизвестной переменной x! Это позволяет нам легко найти значение x:
Рис. 18. В уравнении с одним неизвестным легко находим x.
Когда известно значение x, конечно, нахождение y – это просто вопрос замены (x на его значение 6) в одном из исходных уравнений.
В этом примере метод сложения уравнений хорошо сработал, так как мы легко и непринуждённо получили уравнение с одной неизвестной переменной, просто сложив два исходных уравнения.
Как насчёт примера, где всё не так просто? Рассмотрим следующий набор уравнений:
Рис. 19. Решим другую систему уравнения, чуть посложнее.
Мы можем сложить эти два уравнения вместе – это вполне допустимая алгебраическая операция – однако это не принесёт нам пользы для получения значений x и y:
Рис. 20. Если сложить эти два уравнения, то, увы, на этот раз мы сразу не получим уравнение с одной неизвестной.
Полученное уравнение по-прежнему содержит две неизвестные переменные, как и исходные уравнения, поэтому мы пока что не продвинулись ни на йоту.
Однако, что, если бы мы преобразовали одно из уравнений так, чтобы получить отрицательный член, который при сложении сократил бы соответствующий положительный член в другом уравнении?
Тогда система опять сведётся к одному уравнению с одной неизвестной переменной, как и в предыдущем примере.
Если бы мы могли только превратить член у в нижнем уравнении в член -2у, тогда, сложив два уравнения вместе, оба члена, содержащих у, в уравнениях сокращаются, оставляя нам только член, содержащий х, что однозначно приблизит нас к решению.
К счастью, этого добиться несложно. Если мы умножим каждый член нижнего уравнения на -2, это даст именно то, к чему мы стремимся:
Рис. 21. Умножим обе части 2-го уравнения на -2.
Теперь можно добавить это новое уравнение к исходному, верхнему уравнению:
Рис. 22. Теперь, сложив 2 уравнения, мы избавляемся от одной из переменных.
Решая для x, мы получаем значение для него, равное 3:
Рис. 23. Легко находим x в уравнении от одной переменной.
Подставив это вновь найденное значение x в одно из исходных уравнений, легко определяем значение y:
Рис. 24. Подставляя вместо x его значение 3, быстро находим и y.
Использование этого метода решения в системе с тремя переменными чуть сложнее.
Как и в случае подстановки, мы используем эту технику, чтобы свести систему из трёх уравнений с тремя переменными к системе из двух уравнений с двумя переменными, а затем применяем её вновь, чтобы получить одно уравнение с одной неизвестной переменной.
Чтобы продемонстрировать как это работает, решим ту систему уравнений с тремя переменными, на которой мы чуть выше демонстрировали метод подстановки:
Рис. 25. Снова решим эту систему из 3-х уравнений, на этот раз методом сложения.
Поскольку в верхнем уравнении коэффициенты равны 1 для каждой переменной, им будет легко манипулировать и использовать его в качестве инструмента для сокращения переменных.
Например, если мы хотим исключить 3-кратный член, содержащий x, из среднего уравнения, всё, что нам нужно сделать, это взять верхнее уравнение, умножить каждый из его членов на -3, а затем добавить его к среднему уравнению:
Рис. 26. Умножаем обе части 1-го уравнения на -3.Рис. 27. Затем 1-е уравнение складываем со 2-м, -3x и 3x сокращают друг друга.
Избавляемся в нижнем уравнении от члена -5x таким же макаром: берём исходное верхнее уравнение, умножаем каждый из его членов на 5, затем складываем это модифицированное уравнение с нижним уравнением, в результате чего в новом уравнении остаются члены с y и z:
Рис. 28. Умножаем обе части 1-го уравнения на 5.Рис. 29. Затем 1-е уравнение складываем с 3-м, 5x и -5x сокращают друг друга.
Теперь у нас есть два уравнения с одними и теми же двумя неизвестными переменными, y и z:
Рис. 30. Задача свелась к решению системы из 2-уравнений от 2-х неизвестных.
При беглом взгляде очевидно, что член -z верхнего уравнения можно использовать для сокращения члена 4z в нижнем уравнении, для этого умножим каждый член верхнего уравнения на 4 и сложим два уравнения вместе:
Рис. 31. Умножаем обе части верхнего уравнения на 4.Рис. 32. Затем верхнее уравнение складываем с нижним, 4z и -4z сокращают друг друга.
Получившееся уравнение 13y = 52 решим для y (разделив обе части на 13), получаем значение 4 для y.
Подстановка этого значения 4 вместо y в любое из уравнений с двумя переменными позволяет нам решить для z.
Подстановка обоих значений y и z в любое из исходных уравнений позволяет нам решить для x.
Окончательный результат (на сей раз я избавлю вас от алгебраических шагов, так как вы уже должны быть с ними знакомы!) состоит в том, что x = 2, y = 4 и z = 12.
