Просмотр кода страницы Русская Википедия:Комплексное число

{{Русская Википедия/Панель перехода}}
{{redirect-multi|3|Re|Im|Мнимая величина}}

[[Файл:Diagramma di Venn dei numeri-ru.svg|мини|300px|Иерархия чисел]]
'''Ко́мпле́ксные чи́сла''' (от {{lang-la|complexus}} — связь, сочетание<ref>{{книга |заглавие=Краткий словарь иностранных слов |издание=7-е изд |страниц=312 |страницы=121 |издательство=[[Русский язык (издательство)|Русский язык]] |место=М. |год=1984}}</ref>; о двойном ударении см. примечание<ref group=K>Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам.
* [[Большая советская энциклопедия]], 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья ''Ко́мпле́ксные числа''.
* Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья ''Ко́мпле́ксное число''.
* Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ''ко́мплексные (компле́ксные) числа''.
* В [[Большая российская энциклопедия|Большой российской энциклопедии]] (том 14, 2010 год) приводятся варианты: ''Компле́ксное число'' (стр. 691, автор не указан), но ''[https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2087279 Ко́мплексный анализ] {{Wayback|url=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/2087279 |date=20190702182321 }}'' (стр. 695, автор: член-корр. РАН [[Чирка, Евгений Михайлович|Е. М. Чирка]]).
* Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь [[РАН|Российской академии наук]] под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ''ко́мплексный'' и ''компле́ксный (матем.)''.</ref>) — числа вида <math>a+bi,</math> где <math>a,b</math> — [[Вещественное число|вещественные числа]], <math>i</math> — [[мнимая единица]]<ref name=MAT>{{книга |часть=Комплексное число |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=2 |год=1979 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=1007}}</ref>, то есть число, для которого выполняется равенство: <math>i^2=-1.</math> Множество комплексных чисел обычно обозначается символом{{nbsp}}<math>\mathbb{C}.</math> Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид <math>a+0 i.</math> Главное свойство <math>\mathbb{C}</math> — в нём выполняется [[основная теорема алгебры]], то есть любой многочлен <math>n</math>-й степени (<math>n \geqslant 1</math>) имеет <math>n</math> [[Корень многочлена|корней]]. Доказано{{переход|#Логические основания}}, что система комплексных чисел логически [[Непротиворечивость|непротиворечива]]<ref group=K>При условии непротиворечивости системы вещественных чисел.</ref>.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции [[Сложение|сложения]], [[Вычитание|вычитания]]{{переход|#Сложение и вычитание}}, [[Умножение|умножения]]{{переход|#Умножение}} и [[Деление (математика)|деления]]{{переход|#Деление}}. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше{{переход|#Основные отличия комплексных чисел от вещественных}}. Удобно представлять комплексные числа <math>a+bi</math> точками на [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]]{{переход|#Геометрическое представление}}; например, для изображения [[Сопряжённые числа|сопряжённых чисел]] используется операция отражения относительно горизонтальной оси{{переход|#Сопряжённые числа}}. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней{{переход|#Формула Муавра и извлечение корней}}. [[Теория функций комплексного переменного|Функции комплексного аргумента]] изучаются в [[Комплексный анализ|комплексном анализе]]{{переход|#Комплексные функции}}.

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения [[Кубическое уравнение|кубических уравнений]], при котором в [[Формула Кардано|формуле Кардано]] под знаком [[Квадратный корень|квадратного корня]] получалось [[отрицательное число]]{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=227}}. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики как [[Эйлер, Леонард|Эйлер]], который ввёл общепризнанное обозначение <math>i</math> для мнимой единицы, [[Декарт, Рене|Декарт]], [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]]{{переход|#История}}. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=211, подстрочное примечание}}. 

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в [[обработка сигналов|обработке сигналов]], [[теория управления|теории управления]], [[электромагнетизм]]е, [[теория колебаний|теории колебаний]], [[теория упругости|теории упругости]] и многих других{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=222}}{{переход|#Некоторые практические применения}}. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в [[Картография|картографии]] и [[Гидродинамика|гидродинамике]]. Современная физика полагается на описание мира с помощью [[Квантовая механика|квантовой механики]], которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, [[кватернион]]ы{{переход|#Вариации и обобщения}}.

== Комплексная арифметика ==

=== Связанные определения ===
Всякое комплексное число <math>z=a+bi</math> состоит из двух компонентов{{sfn |Алгебра и математический анализ|1998|с=180—181|name=AMA180}}:
* Величина <math>a</math> называется '''вещественной частью''' числа <math>z</math> и согласно международным стандартам [[ISO 31-11]] и [[ISO 80000-2]] обозначается <math>\operatorname{Re}z</math> или <math>\operatorname{Re}\left(z\right).</math> В источниках иногда встречается [[Готический шрифт|готический]] символ<ref>{{cite web|title=Real Part|url=http://mathworld.wolfram.com/RealPart.html|accessdate=2018-01-16|archive-date=2018-03-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20180331011803/http://mathworld.wolfram.com/RealPart.html|deadlink=no}}</ref>: <math>\operatorname\Re\left(z\right).</math>
** Если <math>a=0</math>, то <math>z</math> называется [[Чисто мнимое число|''чисто мнимым'' числом]]. Вместо <math>0+bi</math> обычно пишут просто <math>bi.</math> В некоторых источниках такие числа называются просто ''мнимыми'', однако в других источниках<ref>{{книга |часть=Мнимое число |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=3 |год=1982 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=708}}</ref> ''мнимыми'' могут называться любые комплексные числа <math>z=a+bi,</math> у которых <math>b\ne 0.</math> Поэтому термин ''мнимое число'' неоднозначен, и использовать его без дополнительных разъяснений не рекомендуется.
* Величина <math>b</math> называется '''мнимой частью''' числа <math>z</math> и согласно международным стандартам [[ISO 31-11]] и [[ISO 80000-2]]  обозначается <math>\operatorname{Im}z</math> или <math>\operatorname{Im}\left(z\right).</math> В источниках иногда встречается готический символ<ref>{{cite web|title=Imaginary Part|url=http://mathworld.wolfram.com/ImaginaryPart.html|accessdate=2018-01-16|archive-date=2018-03-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20180331062633/http://mathworld.wolfram.com/ImaginaryPart.html|deadlink=no}}</ref>: <math>\operatorname\Im\left(z\right).</math>
**Если <math>b=0</math>, то <math>z</math> является [[Вещественное число|вещественным числом]]. Вместо <math>a+0i</math> обычно пишут просто <math>a.</math> Например, комплексный ноль <math>0+0i</math> обозначается просто как <math>0.</math>

''[[Противоположное число|Противоположным]]'' для комплексного числа <math>z=a+bi</math> является число <math>-z=-a-bi.</math> Например, для числа <math>1-2i</math> противоположным будет число <math>-1+2i.</math>

В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на ''больше/меньше''; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (чтобы из <math>a<b</math> вытекало <math>a+c<b+c</math>, а из <math>0<a</math> и <math>0<b</math> вытекало <math>0<ab</math>). Однако, комплексные числа можно сравнивать на ''равно/не равно''<ref name=AMA180/>:
* <math>a+bi=c+di</math> означает, что <math>a=c</math> и <math>b=d</math> (два комплексных числа равны между собой [[тогда и только тогда]], когда равны их вещественные и мнимые части).

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные [[Аксиоматика вещественных чисел|операции с вещественными числами]].

=== Сложение и вычитание ===
Определение [[Сложение|сложения]] и [[Вычитание|вычитания]] комплексных чисел<ref name=AMA180/>:
: <math>\left(a+bi\right) + \left(c+di\right) = \left(a+c\right) + \left(b+d\right)i,</math>
: <math>\left(a+bi\right) - \left(c+di\right) = \left(a-c\right) + \left(b-d\right)i.</math>

Следующая таблица<ref name=AMA180/> показывает основные свойства сложения для любых комплексных <math>u,v,w.</math>

{| class="wikitable"
|-
! Свойство !! Алгебраическая запись
|-
| [[Коммутативная операция|Коммутативность]] (''переместительность'') || <math>u+v = v+u</math>
|-
| [[Ассоциативная операция|Ассоциативность]] (''сочетательность'') || <math>u+\left(v+w\right) = \left(u+v\right)+w</math>
|-
| Свойство нуля || <math>u+0 = u</math>
|-
| Свойство [[Противоположный элемент|противоположного элемента]] || <math>u+\left(-u\right)=0</math>
|-
| Выполнение вычитания через сложение || <math>u-v=u+\left(-v\right)</math>
|}

=== Умножение ===
Определение произведения<ref name=AMA180/> комплексных чисел <math>a+bi</math> и <math>c+di\colon</math>
: <math>\left(a+bi\right) \cdot \left(c+di\right) = ac+bci+adi+bdi^2 = \left(ac+bdi^2\right) +\left(bc+ad\right)i=\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i.
</math>
Следующая таблица<ref name=AMA180/> показывает основные свойства умножения для любых комплексных <math>u,v,w.</math>

{| class="wikitable"
|-
! Свойство !! Алгебраическая запись
|-
| [[Коммутативная операция|Коммутативность]] (''переместительность'') || <math>u \cdot v = v \cdot u</math>
|-
| [[Ассоциативная операция|Ассоциативность]] (''сочетательность'') || <math>u \cdot \left(v \cdot w\right) = \left(u \cdot v\right) \cdot w</math>
|-
| Свойство единицы || <math>u \cdot 1 = u</math>
|-
| Свойство нуля || <math>u \cdot 0 = 0</math>
|-
| [[Дистрибутивность]] (распределительность) умножения относительно сложения || <math>u \cdot \left(v+w\right)=u \cdot v + u \cdot w</math>
|}

Правила для степеней мнимой единицы:
: <math>i^2=-1; \; i^3=-i; \; i^4=1; \; i^5 = i</math> и т. д.
То есть для любого целого числа <math>n</math> верна формула <math>i^{n}=i^{n \bmod 4}</math>, где выражение <math>n \bmod 4</math> означает получение [[Деление с остатком|остатка от деления]] <math>n</math> на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение <math>a+bi</math> можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя [[#Связанные определения|вышеприведённым соглашениям]] и определению сложения и умножения:
: <math>\left(a+0i\right) + \left(b+0i\right)\cdot \left(0+1i\right) = \left(a+0i\right) + \left(0+bi\right) = a+bi.</math>

=== Деление ===
Комплексное число <math>\bar z=x-iy</math> называется [[Сопряжённое число|сопряжённым]] к комплексному числу <math>z=x+iy</math> (подробнее [[#Сопряжённые числа|ниже]]).

Для каждого комплексного числа <math>a+bi,</math> кроме нуля, можно найти ''обратное к нему''{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=2|name=AH2}} комплексное число <math>\frac{1}{a+bi}.</math> Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число <math>a-bi,</math> комплексно сопряжённое знаменателю 
: <math>\frac{1}{a+bi}=  \frac{a-bi}{\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)}=  \frac{a-bi}{a^2+b^2}= \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.</math>

Определим результат деления<ref name=AMA180/> комплексного числа <math>a+bi</math> на ненулевое число <math>c+di\colon</math>
: <math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i.</math>
Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к [[Делитель|делителю]].

=== Другие операции ===
Для комплексных чисел определены также [[Корень (математика)|извлечение корня]], [[возведение в степень]] и [[Комплексный логарифм|логарифмирование]].

=== Основные отличия комплексных чисел от вещественных ===
Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано [[отношение порядка]]). Другое отличие: любой [[многочлен]] степени <math>n>0</math> с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом [[Кратность корня многочлена|кратности]], ровно <math>n</math> комплексных корней ([[основная теорема алгебры]]){{sfn |История математики, том III|1972|с=72}}.

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя [[Корень (математика)|извлечь корень]] чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень <math>n</math>-й степени из ненулевого числа имеет <math>n</math> различных комплексных значений<ref name=EEM237/>. См., например, [[корни из единицы]].

Дополнительные отличия имеют [[функции комплексного переменного]]{{переход|#Комплексные функции}}.

=== Замечания ===
Число <math>i</math> не является единственным числом, квадрат которого равен <math>-1.</math> Число <math>-i</math> также обладает этим свойством.

Выражение <math>\sqrt{-1},</math> ранее часто использовавшееся вместо <math>i,</math> в современных учебниках считается некорректным, и под [[Знак корня|знаком радикала]] стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «[[Арифметический корень]]»). Во избежание ошибок, выражение с [[Квадратный корень|квадратными корнями]] из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как <math>5+i\sqrt{3},</math> а не <math>5+\sqrt{-3},</math> несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым{{sfn |История математики, том III|1972|с=61—66}}<ref name=Bunch>{{книга|автор=Bunch, Bryan |заглавие=Mathematical Fallacies and Paradoxes. Chapter «Eliminating paradox by definition» |серия=Dover Books on Mathematics |ссылка=https://z4eakvy3yu.pdcdn5.xyz/dl2.php?id=194267725&h=35ce15211ccb87586203dd9370cd7b37&u=cache&ext=epub&n=Mathematical%20fallacies%20and%20paradoxes |издательство=Dover Publications|год=1997 |allpages=240 |isbn=978-0486296647}}</ref>.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:
: <math>\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{ \left( -3 \right) \cdot \left( -3 \right)} = \sqrt{ \left( -3 \right)^2} = \sqrt{9}= 3.</math>
Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из <math>-3</math> определён неоднозначно (см. ниже [[#Формула Муавра и извлечение корней]]). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы<ref name=Bunch/>:
: <math>\left( i \sqrt{3} \right) \cdot \left( i \sqrt{3} \right) = \left( i \cdot \sqrt{3} \right)^2 = i^2 \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 = -3.</math>

== Геометрическое представление ==

=== Комплексная плоскость ===
{{main|Комплексная плоскость}}
[[Файл:Illustration of a complex number.svg|мини|слева|Геометрическое представление комплексного числа]]
Комплексные числа можно представить на плоскости с [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системой координат]]: числу <math>z=x+iy</math> соответствует точка плоскости с координатами <math>\left\{ x, y \right\}</math> (а также [[радиус-вектор]], соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется ''[[Комплексная плоскость|комплексной]]''. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно ''вещественной'' и ''мнимой'' осями{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=233—234}}.

[[Файл:Complex vector.svg|thumb|Модуль <math>r</math> и аргумент <math>\varphi</math> комплексного числа]]
Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также [[Полярная система координат|полярную систему координат]] (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние <math>r</math> до [[Начало координат|начала координат]] (''модуль''{{переход|#Модуль}}) и угол <math>\varphi</math> [[радиус-вектор]]а точки с горизонтальной осью (''аргумент''{{переход|#Аргумент}}).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует [[Вектор (геометрия)#Сложение векторов|векторной сумме]] соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из [[Формула Эйлера|формулы Эйлера]] или из [[Тригонометрические тождества#Формулы суммы|тригонометрических формул суммы]]). Если модуль второго сомножителя равен{{nbsp}}1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа<ref name=EEM234/>. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в [[Гармонические колебания|теории колебаний]], где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «[[амплитуда]]» и «[[Фаза колебаний|фаза]]»<ref>[http://docs.cntd.ru/document/1200031279 ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий] {{Wayback|url=http://docs.cntd.ru/document/1200031279 |date=20180316182908 }}. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.</ref>.

'''''Пример''''': умножение на <math>i</math> поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на <math>-i</math> радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

=== Модуль ===
'''Модулем''' ([[Абсолютная величина|абсолютной величиной]]) комплексного числа называется длина [[радиус-вектор]]а соответствующей точки [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа <math>z=x+iy</math> обозначается <math>\left| z \right|</math> (иногда <math>r</math> или <math>\rho</math>) и определяется выражением<ref name=EEM234/>
: <math>\left| z \right| = \sqrt{x^2+y^2}.</math>

Если <math>z</math> является [[Вещественное число|вещественным числом]], то <math>\left| z \right|</math> совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых комплексных <math>z, z_1, z_2</math> имеют место следующие свойства модуля{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=234—235, 239—240|name=EEM234}}{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=6—10|name=AH6}}:
: 1) <math>\left| z \right| \geqslant 0</math>, причём <math> \left| z \right| = 0</math> только при <math>z = 0;</math>
: 2) <math>\left| z_1 + z_2 \right| \leqslant \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right|</math> ([[неравенство треугольника]]);
: 3) <math>\left| z_1 \cdot z_2 \right| = \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right|;</math>
: 4) <math>\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|};</math>
: 5) для пары комплексных чисел <math>z_1</math> и <math>z_2</math> модуль их разности <math>\left| z_1-z_2 \right|</math> равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;
: 6) модуль числа <math>z</math> связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:
:: <math>-\left|z\right| \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant \left|z\right|; \quad -\left|z\right| \leqslant \operatorname{Im}(z) \leqslant \left|z\right|; \quad \left|z\right| \leqslant \left|\operatorname{Re}\left(z\right)\right| + \left|\operatorname{Im}\left(z\right)\right|.</math>

=== Аргумент ===
'''Аргументом''' ненулевого комплексного числа называется угол <math>\varphi</math>  между [[радиус-вектор]]ом соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа <math>z</math> измеряется в радианах и обозначается <math>\operatorname{Arg} \left(z\right)</math>. Из этого определения следует, что<ref name=EEM234/>
: <math>\operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x}; \quad \cos \varphi = \frac {x} { \left| z \right|};  \quad \sin \varphi = \frac {y} {\left| z \right|}.</math>

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа <math>z</math> аргумент определяется с точностью до <math>2 \pi k</math>, где <math>k</math> — любое целое число. '''Главным значением''' аргумента называется такое значение <math>\varphi</math>, что <math>-\pi<\varphi\leqslant\pi.</math> Главное значение может обозначаться <math>\operatorname{arg} \left( z \right)</math>{{sfn |Свешников А. Г., Тихонов А. Н. |1967|с=14—15}}.

Некоторые свойства аргумента<ref name=AH6/>:
: 1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:
:: <math>\operatorname{Arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{Arg} \left( z \right);</math>

: 2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:
:: <math>\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2);</math>

: 3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:
:: <math>\operatorname{Arg}\frac{z_1}{z_2} = \operatorname{Arg}(z_1) - \operatorname{Arg}(z_2).</math>

=== Сопряжённые числа ===
{{main|Сопряжённые числа}}
[[Файл:Complex conjugate picture-01.svg|thumb|Геометрическое представление сопряжённых чисел]]
Если комплексное число <math>z</math> равно <math>x+iy,</math> то число <math>\bar z=x-iy</math> называется '''сопряжённым''' (или комплексно-сопряжённым) к <math>z</math> (обозначается также <math>z^*</math>). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга [[Отражение (геометрия)|зеркальным отражением]] относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком{{sfn |Алгебра и математический анализ|1998|с=183—1851|name=AMA183}}:
* <math>\left| \bar{z} \right| = \left| z \right|;\quad \operatorname{Arg}(\bar{z}) = - \operatorname{Arg}(z).</math>

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как [[Унарная операция|одноместную операцию]], которая  сохраняет все арифметические и алгебраические свойства. Эта операция имеет следующие свойства<ref name=AMA183/>:
* <math>z = \bar{z}</math> тогда и только тогда, когда <math>z</math> — вещественное число.
* <math>\bar{\bar{z}} = z</math> (сопряжённое к сопряжённому есть исходное; иначе говоря, операция сопряжения является [[Инволюция (математика)|инволюцией]]).
Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого ''z''<ref name=AH6/>:
* <math>z \cdot \bar z = \left| z \right|^2 = x^2 + y^2.</math>
Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число<ref name=AH6/>:
* <math>z + \bar z = 2 \operatorname{Re} \left( z \right) = 2x.</math>
Другие соотношения<ref name=AH6/>:
* <math>\operatorname{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\operatorname{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}.</math>
* <math>\overline{z_1 + z_2}=\bar z_1 + \bar z_2;</math>
* <math>\overline{z_1 - z_2}=\bar z_1 - \bar z_2;</math>
* <math>\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2;</math>
* <math>\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2;</math>
Или, в общем виде: <math>\overline{p \left( z \right)} = p \left(\bar z \right),</math> где <math>p \left( z \right)</math> — произвольный [[многочлен]] с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число <math>z</math> является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число <math>\overline{z}</math> тоже является его корнем. Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена (то есть корни, не являющиеся вещественными) разбиваются на комплексно-сопряжённые пары<ref name=AH6/>.

==== Пример ====
Тот факт, что произведение <math>z \bar z</math> есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение<ref name=AH15/>, например:
: <math>\frac{2+5i}{3-4i} = \frac{(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{-14+23i}{25} = -\frac{14}{25} + \frac{23}{25}i.</math>

== Формы представления комплексного числа ==

=== Алгебраическая форма ===
Выше использовалась запись комплексного числа <math>z</math> в виде <math>x+iy;</math> такая запись называется ''алгебраической формой'' комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в [[Полярная система координат|полярной системе координат]].

=== Тригонометрическая форма ===
[[Файл:ParameterizedCircle-2.svg|мини|Тригонометрическое представление]]
Если вещественную <math>x</math> и мнимую <math>y</math> части комплексного числа выразить через модуль <math>r = \left| z \right|</math> и аргумент <math>\varphi</math> (то есть <math>x=r\cos\varphi</math>, <math>y=r\sin\varphi</math>), то всякое комплексное число <math>z</math>, кроме нуля, можно записать в ''тригонометрической форме''<ref name=EEM234/>:
: <math>z=r \left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right)</math>
Как уже сказано выше, для нуля аргумент <math>\varphi</math> не определён; для ненулевого числа <math>\varphi</math> определяется с точностью до целого кратного <math>2\pi.</math>

=== Показательная форма ===
Фундаментальное значение в [[Комплексный анализ|комплексном анализе]] имеет [[формула Эйлера]]<ref name=AH15/>:
: <math>e^{i\varphi}=\cos \varphi+i\sin \varphi,</math>
где <math>e</math> — [[E (математическая константа)|число Эйлера]], <math>\cos</math>, <math>\sin</math> — [[косинус]] и [[sin|синус]], <math>e^{i\varphi}</math> — [[Экспонента#Комплексная экспонента|комплексная экспонента]], продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа<ref name=AH15/>:
: <math>z=re^{i\varphi}.</math>

'''''Следствия'''''
: (1) Модуль выражения <math>e^{i\varphi},</math> где число <math>\varphi</math> вещественно, равен 1.
: (2) <math>\cos\varphi=\frac{ e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2};\quad\sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}</math> — при существенно комплексном аргументе <math>\varphi</math> эти равенства могут служить определением (комплексного) [[косинус]]а и [[sin|синуса]].

'''''Пример'''''{{sfn |Соломенцев Е. Д.|1988|с=7}}. Представим в тригонометрической и показательной форме число <math>z=-1-\sqrt{3}i\colon</math>

:<math>|z|=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2;</math>
:<math>\varphi=-\pi+\operatorname{arctg}\Bigl(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\Bigr)=-\pi+\operatorname{arctg}(\sqrt{3})=-\frac{2\pi}{3}</math> (поскольку <math>z</math> находится в III координатной четверти).

Отсюда:
:<math>z = 2\left(\cos \frac{-2\pi}{3} + i \sin \frac{-2\pi}{3}\right) = 2e^{i \frac{-2\pi}{3}}.</math>

== Формула Муавра и извлечение корней ==
{{main|Формула Муавра}}
Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=237—239|name=EEM237}}:
: <math>z^n = \left[ r \left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right) \right]^n = r^n \left( \cos n\varphi + i\sin n\varphi \right),</math>
где <math>r</math> — модуль, а <math>\varphi</math> — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована [[Эйлер, Леонард|Эйлером]] в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом <math>n</math>, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней <math>n</math>-й степени из ненулевого комплексного числа{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=15—16|name=AH15}}:
: <math>\begin{alignat}{2} z^{1/n} &= \left[ r \left( \cos \left( \varphi + 2\pi k \right) + i \sin \left( \varphi + 2\pi k \right) \right) \right]^{1/n}= \\
& =\sqrt[n]{r} \left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right), \\ \end{alignat}</math>

[[Файл:Kreis5Teilung.svg|thumb|[[Корни из единицы|Корни пятой степени из единицы]] (вершины пятиугольника)]]
где ''k'' принимает все целые значения от <math>k=0</math> до <math>k=n-1</math>. Это значит, что корни <math>n</math>-й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального <math>n,</math> и их количество равно <math>n</math>. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного {{nobr|<math>n</math>-угольника}}, вписанного в окружность радиуса <math>\sqrt[n]{r}</math> с центром в начале координат (см. рисунок). 

=== Главное значение корня ===
Если в формуле Муавра в качестве аргумента <math>\varphi</math> выбрано его главное значение, то значение корня при <math>k=0</math> называется '''главным значением''' корня<ref>{{mathworld |title=nth Root |urlname=nthRoot}}</ref>. Например, главное значение числа <math>\sqrt[3]{2+11i}</math> равно <math>2+i.</math>

=== Квадратный корень ===
Для извлечения [[Квадратный корень|квадратного корня]] из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для <math>n=2.</math> Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При <math>b\neq 0</math> корнями из числа <math>a+bi</math> является пара чисел: <math>\pm(c+di),</math> где{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=3—4}}:

: <math>c = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} ,</math>

: <math>d = \sgn (b) \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} .</math>

Здесь <math>\sgn</math> — [[Знак (функция)|функция «знак»]], а радикалы обозначают обычный [[арифметический корень]] из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением <math>c+di</math> в квадрат. Число <math>c+di</math> является главным значением квадратного корня.

'''''Пример''''': для квадратного корня из <math>3+4i</math> формулы дают два значения: <math>2+i;\; -2-i.</math>

== История ==
Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде [[Кардано, Джероламо|Кардано]] «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна{{nbsp}}10, а произведение равно{{nbsp}}40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: <math>5+\sqrt{-15}</math> и <math>5-\sqrt{-15}.</math> В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»<ref name="kline" />.

Возможность использования мнимых величин при решении [[Кубическое уравнение|кубического уравнения]] впервые описал [[Бомбелли, Рафаэль|Бомбелли]] (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение <math>x^3 = 15x + 4</math> имеет вещественный корень <math>x = 4,</math> однако по [[Формула Кардано|формулам Кардано]] получаем: <math>x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}. </math> Бомбелли обнаружил, что <math>\sqrt[3]{2 \pm 11i}=2 \pm i,</math> так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (''[[Casus irreducibilis|неприводимых]]'') случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел<ref name=ST258>{{книга |автор=Стиллвелл Д. |заглавие=Математика и ее история |место=Москва-Ижевск |издательство=Институт компьютерных исследований |год=2004 |страниц=530 |страницы=258—266}}</ref><ref name="kline"/>.

Выражения, представимые в виде <math>a+b\sqrt{-1},</math> появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где <math>b\neq0,</math> стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи [[Декарт, Рене|Декарта]], который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]], например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты<ref name="kline">{{книга |автор=[[Клайн, Морис|Клайн Моррис]] |заглавие=[[Математика. Утрата определённости]] |место=М. |издательство=Мир |год=1984 |страницы=138—139}}</ref>.

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени <math>n</math> из данного числа была решена в работах [[Муавр, Абрахам де|Муавра]] (1707) и [[Котс, Роджер|Котса]] (1722){{sfn |История математики, том III|1972|с=57—61}}.

Символ <math>i</math> для обозначения мнимой единицы предложил [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова {{lang-la2|imaginarius}} — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая [[логарифм]], на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень ([[основная теорема алгебры]], до Эйлера сходные предположения высказывали [[Альбер Жирар]] и [[Рене Декарт]])<ref>{{книга|автор=[[Юшкевич А. П.]] |часть=Леонард Эйлер. Жизнь и творчество |заглавие=Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сб. статей |место=М. |издательство=Наука|год=1988|isbn=5-02-000002-7}} — С. 15—47.</ref>. К такому же выводу пришёл [[Д’Аламбер, Жан Лерон|д’Аламбер]] (1747), но первое строгое доказательство [[Основная теорема алгебры|этого факта]] принадлежит [[Гаусс, Карл Фридрих|Гауссу]] (1799)<ref name=ST258/>. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик [[Карно, Лазар|Лазар Карно]] в 1803 году, но тогда он не получил распространения)<ref>{{cite web|author=Острая О.|title=Теория функций комплексного переменного|url=https://books.google.ru/books?id=luA2DwAAQBAJ&pg=PA96&lpg=PA96&dq=%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5+%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE+%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81+%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE&source=bl&ots=4MVgxra_cg&sig=LGNp5JYd7E8c9Xrtv3EYJ3_ocuY&hl=ru&sa=X&ved=0ahUKEwi8jvSH0ObXAhVCb5oKHeLeByoQ6AEIJzAA#v=onepage&q=%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%20%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%20%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE&f=false|accessdate=2017-11-30}}</ref>.

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала [[Вессель, Каспар|Вессель]] и [[Арган, Жан Робер|Арган]] (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс<ref>{{книга |автор=Ренэ Декарт. |заглавие=Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта |место=М.—Л. |издательство=[[Гостехиздат]] |год=1938 |страниц=297 |серия=Классики естествознания |страницы=233 }}</ref>. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена [[Гамильтон, Уильям Роуан|Гамильтоном]] («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века [[Коши, Огюстен Луи|Коши]], значительно продвинувший [[комплексный анализ]]. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного<ref name=MAT/><ref>{{книга |автор=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]] |заглавие=История математики в школе. IX—X классы |издательство=Просвещение |место=М. |год=1983 |страниц=351 |страницы=193}}</ref>.

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в [[трёхмерное пространство|трёхмерном пространстве]], аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков [[Гамильтон, Уильям Роуан|Гамильтон]] предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — [[кватернионы]], которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от [[коммутативная операция|коммутативности]] операции умножения<ref name=MAT/>.

В 1893 году [[Штейнмец, Чарлз Протеус|Чарлз Штейнмец]] предложил использовать комплексные числа для расчётов [[Электрическая цепь|электрических цепей]] [[Переменный ток|переменного тока]] (см. [[#Электротехника|ниже]]).

== Комплексные функции ==

=== Аналитические функции ===
{{main|Комплексный анализ}}
Комплексная функция одной переменной — это [[Функция (математика)|функция]] <math>w=f(z)</math>, которая определена на некоторой области [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] и ставит в соответствие точкам <math>z</math> этой области комплексные значения <math>w</math><ref name=SMIR7/>. Примеры:
: <math> w = z^2+z+1;\quad w = z+\frac{1}{z}.</math>
Каждая комплексная функция <math>w = f(z) = f(x+iy)</math> может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: <math>f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y),</math> определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции <math>u</math>, <math>v</math> называются ''компонентами'' комплексной функции <math>f(z).</math> Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных<ref name=SMIR7/>.

Наглядное представление комплексной функции [[График функции|графиком]] затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует [[Четырёхмерное пространство|четырёх измерений]] (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль <math>|w|=|f(z)|,</math> то полученный ''рельеф функции'' размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции{{sfn |Бронштейн, Семендяев|1985|с=360}}.

Все [[Элементарные функции|стандартные функции анализа]] — [[многочлен]], [[дробно-линейная функция]], [[степенная функция]], [[экспонента]], [[тригонометрические функции]], [[обратные тригонометрические функции]], [[логарифм]] — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, [[Дифференциальные уравнения|дифференциальные]] и другие тождества, что и для вещественного оригинала<ref name=SMIR7/>, например:
: <math>\sin^2 z + \cos^2 z = 1; \qquad e^u \cdot e^v = e^{u+v}.</math>

Для комплексных функций определяются понятия [[Предел функции|предела]], [[Непрерывность (математический анализ)|непрерывности]] и [[Производная функции|производной]] так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль{{sfn |Смирнов В. И.|2010|с=7—15|name=SMIR7}}.

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными{{sfn |Смирнов В. И.|2010|с=15—22}}.
* Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — [[гармонические функции]], связанные [[Условия Коши — Римана|условиями Коши — Римана]].
* Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки <math>z</math> комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть ''[[Аналитическая функция|аналитична]]'', или ''голоморфна'').

[[Определённый интеграл]] для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в [[Односвязное пространство|односвязной области]], то её интеграл внутри этой области не зависит от пути{{sfn |Свешников А. Г., Тихонов А. Н. |1967|с=44}}.

=== Преобразования комплексной плоскости ===
Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:
* <math>w=z+c</math> — [[параллельный перенос]], определяемый радиус-вектором точки <math>c.</math>
* <math>w=uz,</math> где <math>u</math> — комплексное число с единичным модулем, — это [[поворот]] вокруг начала координат на угол, равный аргументу <math>u;</math>
* <math>w=\bar z</math> — [[Отражение (геометрия)|зеркальное отражение]] относительно вещественной оси.
Поскольку любое [[Движение (математика)|движение на плоскости]] есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции <math>w=uz+c</math> и <math>w=u\bar z+c</math> дают общее выражение для движения на комплексной плоскости<ref name=GP>{{книга|автор=Заславский А. А. |заглавие=Геометрические преобразования |издание=2-е изд. |место=М. |издательство=МЦНМО |год=2004 |страниц=86 |страницы=58 |isbn=5-94057-094-1}}</ref>.

Другие линейные преобразования<ref name=GP/>:
* <math>w=rz</math>, где <math>r</math> — положительное вещественное число, задаёт [[Растяжение (математика)|растяжение]] с коэффициентом <math>r</math>, если <math>r>1,</math> или [[Сжимающее отображение|сжатие]] в <math>\tfrac1r</math> раз, если <math>r<1;</math>
* преобразования <math>w=az+b</math> и <math>w=a\bar z+b,</math> где <math>a,b</math> — произвольные комплексные числа, задают [[Подобие|преобразование подобия]];
* преобразование <math>w=az+b\bar z+c,</math> где <math>|a|\ne |b|,</math> — общий вид [[Аффинное преобразование|аффинного преобразования]] комплексной плоскости (при <math>|a| = |b|</math> преобразование не будет аффинным, так как оно будет вырождать плоскость в прямую).

Важную роль в комплексном анализе играют [[Дробно-линейное преобразование|дробно-линейные преобразования]]{{sfn |Евграфов М. А.|1968|с=180—186|name=EVGR180}}:
: <math>w=\frac{az+b}{cz+d}.</math>
При этом <math>ad \ne bc</math> (иначе функция <math>w(z)</math> вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые '''обобщённые окружности'''<ref>{{Cite web|url=https://e-maxx.ru/algo/geometric_inversion|title=MAXimal :: algo :: Преобразование геометрической инверсии|website=e-maxx.ru|access-date=2021-05-09|archive-date=2021-05-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210507213336/https://e-maxx.ru/algo/geometric_inversion|deadlink=no}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mp&paperid=928&option_lang=rus|title=Е. А. Морозов, “Обобщённая задача Аполлония”, Матем. просв., сер. 3, 23, Изд-во МЦНМО, М., 2019, 80–111|website=www.mathnet.ru|access-date=2021-05-09|archive-date=2021-05-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210509090207/http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mp&paperid=928&option_lang=rus|deadlink=no}}</ref>, в число которых входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот<ref name=EVGR180/>.

Среди других практически полезных функций преобразования: [[Инверсия (геометрия)|инверсия]] <math>w=1/\bar z,</math> [[функция Жуковского]]. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

=== Аналитическая геометрия на комплексной плоскости ===
Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы [[Планиметрия|планиметрии]] допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например{{sfn |Привалов И. И.|1984|с=43}}:
* Три (различные) точки <math>z_1,z_2,z_3</math> лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:
:: <math>\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math> является вещественным числом.
* Четыре (различные) точки <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:
:: отношение <math>\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} : \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4}</math> является вещественным числом.
* Если даны три вершины [[параллелограмм]]а: <math>z_1, z_2, z_3, </math> то четвёртая определяется равенством{{sfn |Соломенцев Е. Д.|1988|с=10}}: <math>z_4 = z_1 - z_2 + z_3.</math>

[[Параметрическое уравнение]] прямой на комплексной плоскости имеет вид{{sfn |Ahlfors Lars V.|1979|с=17—18|name=AH17}}:
: <math>z = ut + v,</math> где <math>u,v</math> — комплексные числа, <math>u \ne 0, t</math> — произвольный вещественный параметр.
Угол между двумя прямыми <math>z = ut + v</math> и <math>z = u't + v'</math> равен <math>\operatorname{arg}(u'/u).</math> В частности, прямые [[Перпендикулярность|перпендикулярны]], только когда <math>u'/u</math> — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда <math>u' / u</math> есть вещественное число; если при этом <math>(v'-v)/u</math> также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая <math>z = ut + v</math> рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение <math>t=\operatorname{Im}\frac{z-v}{u}</math> положительно, на другой — отрицательно<ref name=AH17/>.

Уравнение [[Окружность|окружности]] с центром <math>c</math> и [[радиус]]ом <math>r</math> имеет чрезвычайно простой вид: <math>|z-c| = r.</math> [[Неравенство]] <math>|z-c| < r</math> описывает внутренность окружности ('''[[Открытое множество|открытый]]''' круг)<ref name=AH17/>. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности{{sfn |Соломенцев Е. Д.|1988|с=12}}: <math>z=c+e^{i\varphi}.</math>

== Место в общей алгебре, топологии и теории множеств ==
Множество комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math> образует [[Поле (алгебра)|поле]], которое является [[Конечное расширение|конечным расширением]] степени 2 поля вещественных чисел <math>\mathbb{R}.</math> Основное алгебраическое свойство <math>\mathbb{C}</math> — оно [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнуто]], то есть в нём любой [[многочлен]] имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что <math>\mathbb{C}</math> есть ''алгебраическое замыкание''{{sfn|Числовые системы|1975|с=165}} поля <math>\mathbb{R}.</math>

[[Характеристика (алгебра)|Характеристика]] комплексного поля равна нулю, [[Мощность множества|мощность]] <math>\mathbb{C}</math> как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть [[Континуум (теория множеств)|континуум]]. [[Теорема Фробениуса]] установила, что существуют только два [[Тело (алгебра)|тела]], являющиеся конечными расширениями <math>\mathbb{R}</math> — поле комплексных чисел и тело [[кватернион]]ов{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=249—251}}.

Превратить поле комплексных чисел в [[упорядоченное поле]] невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного [[Нормированное векторное пространство|нормированного пространства]] над полем <math>\mathbb{R}.</math>

Поле <math>\mathbb{C}</math> допускает бесконечно много [[автоморфизм]]ов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте{{sfn|Числовые системы|1975|с=167}}.

Поля <math>\mathbb{R}</math> и <math>\mathbb{C}</math> — единственные [[Связное пространство|связные]] [[Локально компактное пространство|локально компактные]] [[Топологическое кольцо|топологические поля]]<ref>{{книга |часть=Топологическое поле |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=5 |год=1985 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=386}}</ref>.

== Некоторые практические применения ==
Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

=== Математика ===
Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]], нахождение [[Корень многочлена|корней многочленов]], [[теория Галуа]], [[комплексный анализ]] и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение{{sfn |Комплексные числа. 9—11 классы|2012|loc=Глава 5}}{{sfn |Реальные применения мнимых чисел|1988|с=78}}.

Многие сложные задачи [[Теория чисел|теории чисел]] (например, теория [[Характер биквадратичного вычета|биквадратичных вычетов]]) и вещественного [[Математический анализ|математического анализа]] (например, вычисление сложных или [[Несобственный интеграл|несобственных интегралов]]) удалось решить только с помощью средств [[Комплексный анализ|комплексного анализа]]. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, [[гауссовы числа]] вида <math>a+bi,</math> где <math>a,b</math> — целые числа{{sfn |Реальные применения мнимых чисел|1988|с=114—124}}. Для исследования [[Функция распределения простых чисел|распределения простых чисел]] понадобилась комплексная [[дзета-функция Римана]]<ref>{{книга |автор=Дербишир, Джон. |заглавие=Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике |издательство=Астрель |год=2010 |страниц=464 |isbn=978-5-271-25422-2 |страницы= }}</ref>.

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в [[ряд Тейлора]]
: <math>\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots</math>
Этот ряд сходится только в интервале <math>(-1;\;1)</math>, хотя точки <math>\pm 1</math> не являются какими-то [[Особенность (комплексный анализ)|особенными]] для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2},</math> у которой обнаруживаются две особые точки: [[Полюс (комплексный анализ)|полюса]] <math>\pm i.</math> Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в [[Круг сходимости|круге]] единичного радиуса{{sfn |Привалов И. И.|1984|с=14}}.

При решении [[Обыкновенное дифференциальное уравнение|линейных дифференциальных уравнений]] важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых [[Экспонента|экспонент]]<ref>{{книга|автор=[[Филиппов, Алексей Фёдорович (учёный)|Филиппов А. Ф.]] |заглавие=Введение в теорию дифференциальных уравнений |место = |издательство=Эдиториал УРСС |год = 2004 |страниц = 240 |isbn =5354004160 }}</ref>. В [[Разностное уравнение|разностных уравнениях]] используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений<ref>{{книга |часть=Разностное уравнение |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=4 |год=1984 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu |страницы=838 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |archivedate=2022-01-21 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20220121054322/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t4.djvu }}</ref>. С помощью теории [[Вычет (комплексный анализ)|вычетов]], являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам{{sfn |Свешников А. Г., Тихонов А. Н. |1967|loc=Глава 5}}..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного [[Преобразование Фурье|преобразования Фурье]] или [[Преобразование Лапласа|Лапласа]]{{sfn |Свешников А. Г., Тихонов А. Н. |1967|loc=Глава 8}}.

О представлении комплексных чисел в [[Информатика|информатике]] и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье [[Комплексный тип данных]].

=== Конформное отображение ===
[[Файл:Conformal map.svg|мини|Пример [[Конформное отображение|конформного преобразования]]]]
{{main|Конформное отображение}}
Как уже отмечалось выше, всякая [[комплексная функция]] может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая ([[Аналитическая функция|аналитическая]]) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен ([[конформное отображение]]){{sfn |Смирнов В. И.|2010|с=22—25}}. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в [[картография|картографии]]<ref>{{книга |автор=[[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]] |заглавие=Комплексные числа и конформные отображения |ссылка=http://math.ru/lib/plm/13 |место=М. |издательство=Гостехиздат |год=1954 |серия=Популярные лекции по математике, выпуск 13 |страниц=52 |archivedate=2018-01-28 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20180128120539/http://math.ru/lib/plm/13 }}</ref><ref>{{cite web|author=Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li|title=Mathematical Analysis in Cartography by Means of Computer Algebra System|url=http://cdn.intechopen.com/pdfs/38312/InTech-Mathematical_analysis_in_cartography_by_means_of_computer_algebra_system.pdf|accessdate=2018-01-28|archive-date=2018-01-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20180129004943/http://cdn.intechopen.com/pdfs/38312/InTech-Mathematical_analysis_in_cartography_by_means_of_computer_algebra_system.pdf|deadlink=no}}</ref> и [[гидродинамика|гидродинамике]]<ref>{{книга |автор=Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.|заглавие=Проблемы гидродинамики и их математические модели |место=М. |издательство=Наука |год=1973}}</ref>.

=== Квантовая механика ===
{{main|Квантовая механика}}
Основой квантовой механики является понятие комплексной [[Волновая функция|волновой функции]], Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа [[Уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]]. Решения этих уравнений заданы в комплексном [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]]. Операторы, соответствующие [[Квантовая наблюдаемая|наблюдаемым]] величинам, [[Эрмитов оператор|эрмитовы]]. [[Коммутатор (алгебра)|Коммутатор]] операторов координаты <math>\hat{x}</math> и [[импульс]]а <math>\hat{ p }_x </math> представляет собой мнимое число:
: <math> \left [ \hat{ x }, \hat{ p }_x \right ] = \hat{x} \hat{p}_x - \hat{p}_x \hat{x} = i \hbar </math>
Здесь <math>\hbar</math> — редуцированная [[постоянная Планка]] <math>h</math>, то есть <math>h/2\pi</math> ([[постоянная Дирака]])<ref name=LAND/>.

Важную роль в квантовой механике играют [[матрицы Паули]] и [[матрицы Дирака]], некоторые из них содержат комплексные значения<ref name="LAND">{{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|2004|авторы}}</ref>. [[Вигнер, Юджин|Ю. Вигнер]] уточнял, что «…использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики.»<ref>{{статья |автор = Е. Вигнер|заглавие = Непостижимая эффективность математики в естественных науках|оригинал = |ссылка = https://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=ufn&paperid=11329|издание = УФН|год = 1968|том = 93|страницы = 535—546 |doi = 10.3367/UFNr.0094.196803f.0535}}</ref>.

=== Электротехника ===
{{main|Теория электрических цепей}}
Поскольку [[переменный ток]] есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или [[Электрический импеданс|комплексного сопротивления]], для [[Реактивный элемент|реактивных элементов]] электрической цепи, таких как ёмкость и индуктивность, — это помогает рассчитать токи в цепи{{sfn |Реальные применения мнимых чисел|1988|с=132—144}}. Ввиду того, что традиционно символ <math>i</math> в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой <math>j\,</math><ref>{{книга|автор=Молчанов А. П., Занадворов П. Н. |заглавие=Курс электротехники и радиотехники, глава «Линейные цепи» |издательство=BH V|страниц=608 |isbn=978-5-9775-0544-4}}</ref>. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую [[Уравнения Максвелла#Спектральное представление|уравнения Максвелла]] в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из <math>(t, x)</math>- в <math>(\omega, k)</math>-пространство (где <math>t</math> — время, <math>\omega</math> — [[угловая частота]]) посредством [[преобразование Фурье|преобразования Фурье]] получаются более простые уравнения без производных<ref>{{книга
|автор = Афонский А. А., Дьяконов В. П.
|заглавие = Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики
|ссылка = https://archive.org/details/isbn_9785913590497
|ответственный = Под ред. проф. В. П. Дьяконова
|место = М.
|издательство = СОЛОН-Пресс
|год = 2009
|страницы = [https://archive.org/details/isbn_9785913590497/page/n246 248]
|isbn = 978-5-913-59049-7
}}</ref>.

== Логические основания ==
Расширение [[Поле (алгебра)|поля]] [[Вещественное число|вещественных чисел]] до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

=== Аксиоматика комплексных чисел ===
Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math>, если опираться на [[Вещественное число#Аксиоматический подход|аксиоматическую теорию вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}</math>. А именно, определим <math>\mathbb{C}</math> как минимальное [[Поле (алгебра)|поле]], содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна −1, — [[Мнимая единица|мнимую единицу]]. Говоря более строго, аксиомы комплексных чисел следующие{{sfn|Числовые системы|1975|с=164—165}}{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=227—233}}.

: '''С1''': Для всяких комплексных чисел <math>u,v</math> определена их сумма <math>u+v.</math>
: '''С2''': Сложение [[Коммутативная операция|коммутативно]]: <math>u+v = v+u.</math> Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких <math>u,v,w</math>».
: '''С3''': Сложение [[Ассоциативная операция|ассоциативно]]: <math>(u+v)+w = u+(v+w).</math>
: '''С4''': Существует элемент 0 (ноль) такой, что <math>u+0 = u.</math>
: '''С5''': Для всякого комплексного числа <math>u</math> существует ''противоположный ему'' элемент <math>-u</math> такой, что <math>u+(-u) = 0.</math>
: '''С6''': Для всяких комплексных чисел <math>u,v</math> определено их произведение <math>uv.</math>
: '''С7''': Умножение [[Коммутативная операция|коммутативно]]: <math>uv = vu.</math>
: '''С8''': Умножение [[Ассоциативная операция|ассоциативно]]: <math>(uv)w = u(vw).</math>
: '''С9''': Умножение связано со сложением [[Дистрибутивность|распределительным]] (дистрибутивным) законом: <math>(u+v)w = uw+vw.</math>
: '''С10''': Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что <math>u \cdot 1 = u.</math>
: '''С11''': Для всякого ненулевого числа <math>u</math> существует ''обратное ему'' число <math>u'</math> такое, что <math>u \cdot u' = 1.</math>
: '''С12''': Множество комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math> содержит подполе, [[Изоморфизм полей|изоморфное]] [[Вещественное число#Аксиоматический подход|полю вещественных чисел]] <math>\mathbb{R}.</math> Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой <math>\mathbb{R}.</math>
: '''С13''': Существует элемент <math>i</math> ([[мнимая единица]]) такой, что <math>i^2 + 1 = 0.</math>
: '''С14''' (''аксиома минимальности''): Пусть <math>M</math> — подмножество <math>\mathbb{C},</math> которое: содержит <math>\mathbb{R}</math> и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда <math>M</math> совпадает со всем <math>\mathbb{C}.</math>

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что <math>\mathbb{C}</math> образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является [[Расширение поля|расширением]] <math>\mathbb{R}.</math> Приведённая аксиоматика ''категорична'', то есть любые её модели [[Изоморфизм полей|изоморфны]]{{sfn|Числовые системы|1975|с=166}}.

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать [[Система Цермело — Френкеля|аксиоматику теории множеств]]<ref>{{cite web|title=Real and Complex Numbers|url=http://us.metamath.org/mpegif/mmcomplex.html#axioms|accessdate=2018-02-13|archive-date=2021-02-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210206111537/http://us.metamath.org/mpegif/mmcomplex.html#axioms|deadlink=no}}</ref>.

=== Непротиворечивость и модели ===
Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — [[Логика высказываний|смоделировать]] (''интерпретировать'') её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе [[Вещественное число|вещественных чисел]]{{sfn |Числовые системы|1975|с=167—168|name=NECH167}}.

==== Стандартная модель ====
Рассмотрим всевозможные [[Упорядоченная пара|упорядоченные пары]] вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара <math>(a,b)</math> будет соответствовать комплексному числу <math>a+bi.</math>{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=230—233}}

Далее определим<ref name=NECH167/>:
# пары <math>(a,b)</math> и <math>(c,d)</math> считаются равными, если <math>a=c</math> и <math>b=d;</math>
# '''сложение''': сумма пар <math>(a,b)</math> и <math>(c,d)</math> определяется как пара <math>(a+c,b+d);</math>
# '''умножение''': произведение пар <math>(a,b)</math> и <math>(c,d)</math> определяется как пара <math>(ac-bd, ad+bc).</math>
Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения <math>i^2=-1\colon</math>
: <math>(a+bi)(c+di) = (a+bi)c+(a+bi)di = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac-bd) + i (ad+bc).</math>

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует [[Поле (алгебра)|поле]] и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами <math>(a,0)</math>, образующими подполе <math>\mathbb{R}</math>, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары <math>(0,0)</math> и <math>(1,0)</math> соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем [[Процедура Кэли — Диксона|процедуры Кэли — Диксона]].

[[Мнимая единица]] — это пара <math>(0,1),</math> Квадрат её равен <math>\left( -1,\;0 \right),</math> то есть{{nbsp}}<math>-1.</math> Любое комплексное число можно записать в виде <math>(a, b) = (a,0)(1,0) + (b,0) (0,1) = a (1,0) + b (0,1) = a + b i.</math>

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой<ref name=NECH167/>.

==== Матричная модель ====
Комплексные числа можно также определить как [[подкольцо]] кольца вещественных [[Матрица (математика)|матриц]]{{nbsp}}2×2 вида
: <math>\begin{pmatrix}x & -y \\ y & x\end{pmatrix}</math>
с обычным матричным сложением и умножением<ref name=MAT/>. Вещественной единице будет соответствовать
: <math>\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},</math>
мнимой единице —
: <math>\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}</math>.

Множество таких матриц является двумерным [[Векторное пространство|векторным пространством]]. Умножение на комплексное число <math>x+iy</math> является [[Линейный оператор|линейным оператором]]. В базисе <math>e_1=1, e_2=i</math> линейный оператор умножения на <math>x+iy</math> представляется указанной выше матрицей, так как<ref name=MAT/>:
: <math>(x+iy)\cdot 1 = x\cdot 1 + y\cdot i;</math>
: <math>(x+iy)\cdot i = (-y)\cdot 1 + x\cdot i. </math>

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа.
А именно, существует [[взаимно однозначное соответствие]] между комплексными числами и [[Поворотная гомотетия|поворотными гомотетиями]] плоскости ([[Композиция функций|комбинациями]] растяжения относительно точки и [[поворот]]а): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число<ref>{{Книга|автор=John Stillwell|заглавие=The Four Pillars of Geometry|ссылка=https://books.google.com/books?id=89XzCKRqvrMC&pg=PA84|ответственный=|издание=|место=|издательство=Springer Science & Business Media|год=2005-12-30|страницы=84—86|страниц=240|isbn=9780387290522|isbn2=}}</ref>.

==== Модель факторкольца многочленов ====
Рассмотрим [[кольцо многочленов]] <math>\mathbb{R}[x]</math> с вещественными коэффициентами и построим его [[факторкольцо]] по модулю многочлена <math>x^2+1</math> (или, что то же, по [[Идеал (алгебра)|идеалу]], порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из <math>\mathbb{R}[x]</math> мы будем считать [[Отношение эквивалентности|эквивалентными]], если при делении на многочлен <math>x^2+1</math> они дают одинаковые остатки. Например, многочлен <math>x^2</math> будет эквивалентен константе <math>-1,</math> многочлен <math>x^3</math> будет эквивалентен <math>-x</math> {{итд}}<ref name=FAD/>

Множество классов эквивалентности образует [[Кольцо (математика)|кольцо]] с единицей. Так как многочлен <math>x^2+1</math> [[Неприводимый многочлен|неприводим]], то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен <math>i(x)=x,</math> поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен <math>-1.</math> Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида <math>a+bx</math> (от деления на <math>x^2+1</math>), который в силу сказанного можно записать как <math>a+bi.</math> Следовательно, это поле [[Изоморфизм колец|изоморфно]] полю комплексных чисел<ref name=FAD>{{книга|автор=Фаддеев Д. К.|заглавие=Лекции по алгебре |место=М. |издательство=Наука |год=1984|страницы=200—201|страниц=416}}</ref>.

Данный изоморфизм был обнаружен [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как [[Алгебра Клиффорда|алгебры Клиффорда]]<ref>{{Книга|автор=F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras|заглавие=Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics: Proceedings of the Third Conference held at Deinze, Belgium, 1993|ссылка=https://books.google.com/books?id=2CL-CAAAQBAJ&pg=PA32|ответственный=|издание=|место=|издательство=Springer Science & Business Media|год=2012-12-06|страницы=33|страниц=405|isbn=9789401120067|isbn2=}}</ref>.

==== Расширенное комплексное поле как фактор-поле рациональных дробей полиномов с вещественными коэффициентами ====
Нетривиальная [[Фактормножество|факторизация]] поля в поле невозможна, но поля, расширенные бесконечностью, могут нетривиально факторизоваться. Более того, возможны нетривиальные факторизации обычных полей в расширенные. В частности, обычное или расширенное поле [[Дробь (математика)|рациональных дробей]] полиномов одной переменной с вещественными коэффициентами факторизуется в [[Расширенная комплексная плоскость|расширенное поле комплексных чисел]] ([[Сфера Римана|сферу Римана]]) путём отождествления полинома <math>x^2+1</math> с нулём. Каждая дробь при этом заменяется на частное остатков от деления числителя и знаменателя своего несократимого представления на <math>x^2+1</math>. В силу несократимости, при этом не может образоваться неопределённость <math>0/0</math>, в остальных случаях знаменатель, равный нулю, означает бесконечность, случай знаменателя, не равного нулю, рассматриваются в стандартной технике (домножением на сопряжённый знаменателю). Другим способом получения того же результата является параметризация полиномов числителя и знаменателя несократимого представления дроби мнимой единицей. 

Параметризуя рациональные дроби полиномов различными числами, можно получать различные факторизации: при параметризации вещественным числом&nbsp;&mdash; расширенное поле вещественных, комплексным (не вещественным)&nbsp;&mdash; комплексных чисел. Число, используемое для параметризации, есть корень простого (над вещественным полем) полинома, отождествляемого с нулём, т.&nbsp;е. по модулю которого берутся числители и знаменатели (в случае вещественного числа&nbsp;&mdash; первой степени, комплексного&nbsp;&mdash; квадратный с отрицательным дискриминантом и, соответственно, двумя сопряжёнными комплексными корнями).

=== Алгебраическая характеризация ===
Как уже упоминалось [[#Место в общей алгебре, топологии и теории множеств|выше]], поле комплексных чисел [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнуто]] и имеет [[Характеристика (алгебра)|характеристику]] ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>\mathbb Q</math>). Кроме того, любой [[Степень трансцендентности|базис трансцендентности]] <math>\mathbb C</math> над <math>\mathbb Q</math> имеет мощность [[Континуум (теория множеств)|континуум]]<ref group="K">То есть отличается от <math>\mathbb Q(x_i), i \in \mathbb R</math> (поля [[Рациональная функция|рациональных функций]] для набора переменных <math>x_i</math> [[Мощность множества|мощности]] континуум) на [[алгебраическое расширение]]</ref>. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до [[Изоморфизм полей|изоморфизма полей]] — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей<ref>''David Marker.'' Model Theory: An Introduction, ISBN 978-0-387-22734-4. Proposition 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. См. также [https://math.stackexchange.com/questions/2562735/two-algebraically-closed-fields-with-char-0-and-same-cardinality-kappa-al некоторые пояснения] {{Wayback|url=https://math.stackexchange.com/questions/2562735/two-algebraically-closed-fields-with-char-0-and-same-cardinality-kappa-al|date=20180514213946}}.</ref><ref>''William Weiss and Cherie D’Mello.'' [http://www.math.toronto.edu/weiss/model_theory.pdf Fundamentals of Model Theory] {{Wayback|url=http://www.math.toronto.edu/weiss/model_theory.pdf |date=20180413074814 }}. Lemma 7: ''Any two algebraically closed fields of characteristic 0 and cardinality <math>\aleph_1</math> are isomorphic'' и комментарий после неё.</ref><ref group=K>Поскольку отображение в алгебраически замкнутое поле всегда может быть продлено на алгебраическое расширение, для установления изоморфизма между алгебраическими замкнутыми полями достаточно установить изоморфизм между их [[Простое поле|простыми подполями]] и биекцию между базисами трансцендентности.</ref>.

При этом отождествлении другие структуры, вроде [[Норма (теория полей)|нормы]] или [[Топологическое пространство|топологии]], могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание <math>\overline\mathbb{Q}_p</math> поля [[p-адическое число|<math>p</math>-адических чисел]] также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако {{s|<math>p</math>-адическая}} норма не является {{iw|архимедова норма|архимедовой|en|Archimedean_property#Definition_for_normed_fields}} и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма<ref name="ME">{{книга |часть=p-адическое число |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=1 |год=1977 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] |страницы=100 }}: «''Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования… Поле <math>Q_p</math> локально компактно''».</ref>. Поэтому они задают различную структуру [[Топологическое векторное пространство|топологического векторного пространства]]: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей [[Дискретное пространство|дискретно]] в комплексном случае и [[Компактное пространство|компактно]] — в <math>p</math>-адическом<ref name=ME/>.

== Вариации и обобщения ==
Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось [[Тело (алгебра)|тело]] [[кватернион]]ов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые <math>i,j,k.</math> Согласно [[Теорема Фробениуса|теореме Фробениуса]], комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и [[кватернион]]ы из комплексных чисел могут быть получены единой ''процедурой удвоения размерности'', также известной как «[[процедура Кэли — Диксона]]»<ref name=DICK/>.

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные [[Кэли, Артур|Артуром Кэли]] в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «[[Числа Кэли|числами Кэли]]» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы [[Седенионы|седенионами]]. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют<ref name=DICK>{{Citation |last1=Dickson |first1=L. E.  |title=On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem |jstor=1967865 |publisher=Annals of Mathematics |series=Second Series |year=1919 |journal=[[Annals of Mathematics]] |issn=0003-486X |volume=20 |issue=3 |pages=155–171 |doi=10.2307/1967865}}</ref>.

'''Другие типы расширений комплексных чисел ([[гиперкомплексные числа]]):'''
* [[Бикватернион]]ы
* [[Гиперболические числа|Комплексные числа гиперболического типа]] (двойные)
* [[Дуальные числа|Комплексные числа параболического типа]] (дуальные)

== Примечания ==
; Комментарии
{{примечания|2|group=K}}
; Использованная литература
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{Навигация |Тема=Комплексные числа |Викиучебник=Комплексные числа |Викитека= |Викисклад=Category:Complex_numbers}}
* {{книга|автор=[[Балк, Марк Беневич|Балк М. Б.]], Балк Г. Д., Полухин А. А.
  |заглавие=Реальные применения мнимых чисел |ref=Реальные применения мнимых чисел
  |место=Киев |издательство=Радянська школа |год=1988 |страниц=255 |isbn=5-330-00379-2}}
* {{книга |автор=[[Бронштейн И. Н.]], [[Семендяев К. А.]] |ref=Бронштейн, Семендяев
  |заглавие=[[Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов]]
  |издание=изд. 13-е |страниц=544 |место=М. |издательство=Наука |год=1985 }}
* {{книга|автор = [[Никола Бурбаки|Бурбаки Н.]]|заглавие = Очерки по истории математики |место = М. |год = 1963}}
* {{книга |автор=[[Виленкин, Наум Яковлевич|Виленкин Н. Я.]], [[Ивашёв-Мусатов, Олег Сергеевич|Ивашов-Мусатов О. С.]], [[Шварцбурд, Семён Исаакович|Шварцбурд С. И.]] |издание=Изд. 6-е |ref=Алгебра и математический анализ
  |заглавие=Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие
  |место=М. |издательство=Просвещение |год=1998 |страниц=288 |isbn=5-09-008036-4}}
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006
  |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
  |страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}}
* {{книга|автор=Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я.|заглавие=Комплексные числа. 9—11 классы
  |место=М.|издательство=Экзамен|год=2012|страниц=157|isbn=978-5-377-03467-4
  |ref=Комплексные числа. 9—11 классы }}
* {{книга |автор=[[Евграфов, Марат Андреевич|Евграфов М. А.]] |заглавие=Аналитические функции
  |издание=2-е изд., перераб. и дополн |место=М. |издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
  |год=1968 |страниц=472 |ref=Евграфов М. А. }}
* {{книга |автор=[[Кириллов, Александр Александрович|Кириллов А. А.]] |заглавие=Что такое число? |место=М. |год=1993 |страниц=80 |isbn=5-02-014942-3}}
* {{книга |автор=[[Лаврентьев, Михаил Алексеевич|Лаврентьев М. А.]], [[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]
  |заглавие=Методы теории функций комплексного переменного
  |место=М. |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=[[1972]] |издание=4-е изд }}
* {{книга |часть=Математика XVIII столетия
  |заглавие=История математики |ссылка часть=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm
  |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]], в трёх томах
  |место=М. |издательство=Наука |год=1972 |том=III |ref=История математики, том III }}
* {{книга |автор=[[Нечаев, Василий Ильич|Нечаев В. И.]] |заглавие=Числовые системы |место=М. |издательство=Просвещение |год=1975 |страниц=199 |ref=Числовые системы }}
* {{книга |автор=[[Привалов, Иван Иванович|Привалов И. И.]] |ref=Привалов И. И.
  |заглавие=Введение в теорию функций комплексного переменного
  |издание=13-е изд. |место=М. |издательство = [[Физматлит]] |год=1984 |страниц=432 }}
* {{книга |автор=[[Свешников, Алексей Георгиевич|Свешников А. Г.]], [[Тихонов, Андрей Николаевич|Тихонов А. Н.]]
  |заглавие=Теория функций комплексной переменной
  |место=М. |издательство=Наука |год=1967 |страниц=304 |ref=Свешников А. Г., Тихонов А. Н. }}
* {{книга |автор=[[Смирнов, Владимир Иванович (математик)|Смирнов В. И.]]
  |заглавие=Курс высшей математики в трёх томах |том=3, часть 2-я |ref=Смирнов В. И.
  |издание=Изд. 10-е |место=СПб. |издательство=БХВ-Петербург |год=2010 |страниц=816 |isbn=978-5-9775-0087-6 }}
* {{книга |автор=Соломенцев Е. Д. |заглавие=Функции комплексного переменного и их применения |место=М. |издательство=Высшая школа |год=1988 |страниц=167 |isbn=5-06-003145-6 |ref=Соломенцев Е. Д. }}
* {{книга |заглавие=Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах) |страницы=160—168 |том=1 |год=1951
  |страниц=448 |место=М. |издательство=Физматгиз |ref=Энциклопедия элементарной математики }}
* {{книга |автор=[[Альфорс, Ларс|Ahlfors Lars V.]] |ref=Ahlfors Lars V. |isbn=0-07-000657-1
  |заглавие=Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable
  |издание=Third edition |год=1979 |страниц=317 |место=Harvard University |издательство=McGraw-Hill Book Company}}

== Ссылки ==
* {{cite web |author=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г.]] |url=http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200101001
  |title=Комплексные числа (часть 1 из 2) |accessdate=2017-04-18 |publisher=Журнал «Математика»
  |description=№ 10 (2001)}}
** [http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200101102 (часть 2 из 2)], «Математика» № 11 (2001).
* {{статья |автор=[[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин Л.]] |заглавие=Комплексные числа |год=1982 |номер=3 |страницы=
  |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] }}
* {{cite web |author= |url=http://www.siarion.net/rus/free/carevoljet/
  |title=Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows |accessdate=2018-01-17 }}
* ''{{iw|Этьен Жис|||Étienne Ghys}}, Йос Лейс, Орельян Альварез''. [http://www.dimensions-math.org/Dim_RU.htm Фильм Dimensions]. Главы [[Файл:YouTube full-color icon (2017).svg|20px|link=https://www.youtube.com/watch?list=PLw2BeOjATqrtxJHK1H1Tpy5XG7YLN9RVq&v=bY4DS1RwwAE]] 5 и [[Файл:YouTube full-color icon (2017).svg|20px|link=https://www.youtube.com/watch?list=PLw2BeOjATqrtxJHK1H1Tpy5XG7YLN9RVq&v=bY4DS1RwwAE]] 6: Комплексные числа.{{ref-ru}}


{{Числа}}
{{Алгебра над кольцом}}

{{Избранная статья|Математика}}

[[Категория:Числа]]
[[Категория:Комплексные числа|*]]
[[Категория:Комплексный анализ]]
{{Навигационная таблица/Портал/Русская Википедия}}
[[Категория:Русская Википедия]]
[[Категория:Википедия]]
[[Категория:Статья из Википедии]]
[[Категория:Статья из Русской Википедии]]