Просмотр кода страницы Русская Википедия:Теорема Колмогорова о двух рядах

{{Русская Википедия/Панель перехода}}
'''Теорема Колмогорова о двух рядах''' в [[теория вероятностей|теории вероятностей]] задает достаточное условие сходимости с вероятностью единица ряда независимых [[Случайная величина|случайных величин]]. Теорема Колмогорова о двух рядах может быть использована для доказательства [[закон больших чисел|усиленного закона больших чисел]].

{{Теорема|
Для сходимости с вероятностью единица ряда <math>\sum \xi_n</math> из независимых случайных величин достаточно, чтобы одновременно сходились два ряда: <math>\sum M \xi_n</math> и <math>\sum D \xi_n</math>. Если к тому же <math>\sum P(|\xi_n| \leqslant c) =1, n  \geqslant 1</math>, то это условие является и необходимым.
}}

== Доказательство ==

Если <math>\sum D\xi_n < \infty </math>, то по [[Теорема Колмогорова - Хинчина о сходимости|теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости]]  <math>\sum(\xi_n - M\xi_n)</math> сходится. Но по предположению ряд <math>M\xi_n</math> сходится, поэтому сходится и ряд <math>\sum \xi_n</math>.

Для доказательства необходимости воспользуемся следующим приемом "симметризации". Наряду с последовательностью <math>\xi_1, \xi_2 ...</math> рассмотрим не зависящую от неё последовательность случайных величин <math>\xi_1^', \xi_2^' ...</math> таких, что <math>\xi_n^'</math> имеет то же распределение, что и <math>\xi_n, n \geqslant 1</math>.

Тогда, если сходится ряд <math>\sum \xi_n</math>, то сходится и ряд <math>\sum \xi_n^'</math>, а значит, и ряд <math>\sum (\xi_n - \xi_n^')</math>. Но <math>M(\xi_n - \xi_n^')=0</math> и <math>P(|\xi_n - \xi_n^'| \leqslant 2c) = 1</math>. Поэтому по [[Теорема Колмогорова - Хинчина о сходимости|теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости]]  <math>\sum D(\xi_n - \xi_n^') < \infty</math>.

Далее <math>\sum D \xi_n = \frac{1}{2}\sum D(\xi_n - \xi_n^') < \infty</math>.
Поэтому по [[Теорема Колмогорова - Хинчина о сходимости|теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости]] с вероятностью единица сходится ряд <math>\sum(\xi_n - M\xi_n)</math>, а значит, сходится и ряд <math>\sum M \xi_n</math>.

Итак, из сходимости ряда <math>\sum \xi_n</math> (в предположении <math>P(|\xi_n | \leqslant c ) = 1, n \geqslant 1)</math> вытекает, что оба ряда <math>\sum M \xi_n</math> и <math>\sum D \xi_n</math> сходятся.

== Литература ==

* {{книга
 | автор         = Ширяев А. Н.
 | заглавие      = Вероятность
 | место         = М.
 | издательство  = [[МЦНМО]]
 | год           = 2004
 | издание       = 3-е изд., перераб. и доп.
}} (Глава 4 § 2 раздел 1)

[[Категория:Ряды]]
[[Категория:Теоремы теории вероятностей и математической статистики]]
{{Навигационная таблица/Портал/Русская Википедия}}
[[Категория:Русская Википедия]]
[[Категория:Википедия]]
[[Категория:Статья из Википедии]]
[[Категория:Статья из Русской Википедии]]