Просмотр кода страницы Электроника:Переменный ток/Комплексные числа/Арифметика комплексных чисел

{{Панель управления/Электроника}}
{{Перевод от valemak}}
{{Myagkij-редактор}}

=Арифметика комплексных чисел<ref>[https://www.allaboutcircuits.com/textbook/alternating-current/chpt-2/complex-number-arithmetic/ www.allaboutcircuits.com - Complex Number Arithmetic]</ref>=

Поскольку [[комплексные числа]], как и [[скаляр]]ные, – полноценные математические объекты, то их можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в квадрат, инвертировать и т.д., как и любые другие числа.

Некоторые [[инженерные калькуляторы]] умеют выполнять подобные операции непосредственно с двумя или более [[комплексными числами]]. Но также не помешает знать, как это можно делать и «на бумаге». В этом разделе разберём, как вручную выполняются основные операции.

Хотя нужно уметь работать с [[комплексными числами]] и без клавиатурных помощников, настоятельно советую обзавестись [[инженерным калькулятором]], способным выполнять арифметические операции с [[комплексными числами]]. Тогда ваше изучение цепей [[переменного тока]] будет ещё более приятным, так как ручные расчёты проделываются всё-таки несколько дольше.

== Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме записи ==

Складывать/вычитать [[комплексные числа]] в [[алгебраической форме]] записи до безобразия просто. При сложении сначала сложите действительные составляющие [[комплексных чисел]] – так определится действительная составляющую суммы. Ну и затем сложите [[мнимые составляющие]] [[комплексных чисел]], чтобы определить [[мнимую составляющую]] суммы:

[[File:Складывание комплексных чисел в алгебраической форме записи_1_08062021_1500.png|frame|center|'''Рис. 1.''' Складывание комплексных чисел в алгебраической форме записи.|alt=Рис. 1. Складывание комплексных чисел в алгебраической форме записи.]]

При вычитании [[комплексных чисел]] в [[алгебраической форме]] просто сначала вычтите вещественную составляющую второго [[комплексного числа]] из вещественной составляющей первого, чтобы получить вещественную составляющую разности. И затем вычтите [[мнимую составляющую]] второго [[комплексного числа]] из мнимой составляющей первого, чтобы получить [[мнимую составляющую]] разности:

[[File:Вычитание комплексных чисел в алгебраической форме записи_2_08062021_1500.png|frame|center|'''Рис. 2.''' Вычитание комплексных чисел в алгебраической форме записи.|alt=Рис. 2. Вычитание комплексных чисел в алгебраической форме записи.]]

== Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме записи ==

Для обычного умножения и деления предпочтительнее использовать полярную нотацию. При умножении [[комплексных чисел]] в [[полярной форме]] просто перемножьте полярные величины [[комплексных чисел]], чтобы определить полярную величину произведения, и затем сложите углы [[комплексных чисел]], чтобы определить угол произведения:

[[File:Умножение комплексных чисел в полярной форме записи_3_08062021_1503.png|frame|center|'''Рис. 3.''' Умножение комплексных чисел в полярной форме записи.|alt=Рис. 3. Умножение комплексных чисел в полярной форме записи.]]

{{ads2}}

Делить [[комплексные числа]] в [[полярной форме]] легко и просто: просто разделите полярную величину первого [[комплексного числа]] на полярную величину второго [[комплексного числа]], чтобы получить полярную величину частного. Потом вычтите угол второго [[комплексного числа]] из угла первого [[комплексного числа]], чтобы получить угол частного:

[[File:Деление комплексных чисел в полярной форме записи_4_08062021_1501.png|frame|center|'''Рис. 4.''' Деление комплексных чисел в полярной форме записи.|alt=Рис. 4. Деление комплексных чисел в полярной форме записи.]]

Чтобы получить обратное или «инвертированное» (1/x) [[комплексное число]], просто представьте скалярную единицу в полярной форме записи (это будет не что иное, как [[комплексное число]], у которого [[вещественная составляющая]] равна 1, а мнимая составляющая ∠0°) и затем разделите на [[комплексное число]] x:

[[File:Инвертирование комплексных чисел в полярной форме записи_5_08062021_1501.png|frame|center|'''Рис. 5.''' Инвертирование комплексных чисел в полярной форме записи.|alt=Рис. 5. Инвертирование комплексных чисел в полярной форме записи.]]

Это основные операции, которые вам понадобятся, чтобы управлять [[комплексными числами]] при анализе цепей [[переменного тока]]. Понятное дело, что операции с [[комплексными числами]] никоим образом не ограничиваются только сложением, вычитанием, умножением, делением и инверсией.

Практически любая арифметическая операция, которая может быть выполнена со [[скалярными числами]], может выполняться и с [[комплексными числами]], как-то: возведение в степень, извлечение корня, решение систем уравнений с комплексными коэффициентами и даже [[тригонометрические функции]] (хотя, что касается комплексной тригонометрии, то там понадобятся так называемые [[гиперболические функции]], но, пожалуй, не будем сейчас вдаваться в такие дебри, это явно выходит за рамки нашего курса).

В общем, освойте для [[комплексных чисел]] это основные (и несложные) арифметические операции сложения, вычитания, умножения, деления и инверсии, и у вас не будет проблем с анализом цепей [[переменного тока]], даже если под рукой не окажется [[продвинутого калькулятора]].

== Итог ==

*  Чтобы сложить [[комплексные числа]] в [[алгебраической форме]], отдельно сложите действительные составляющие и отдельно сложите [[мнимые составляющие]]. Вычитание производится аналогично.
*  Чтобы перемножить [[комплексные числа]] в полярной форме, перемножьте величины и сложите углы. Чтобы разделить, разделите величины и вычтите один угол из другого.

=См.также=



=Внешние ссылки=

<references />

{{Навигационная таблица/Портал/Электроника}}

[[Категория:Переменный ток]]
[[Категория:Комплексные числа]]
[[Категория:Арифметика комплексных чисел]]
[[Категория:Теория]]
[[Категория:Теория по электронике]]