Шаблон:Другие значения
Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексной переменной.
Теорема
Пусть <math> D \subset \mathbb{C}</math> — область, а функция <math>f(z)</math> голоморфна в <math>D</math> и непрерывна в замыкании <math>\overline{D}</math>. Тогда для некоторой односвязной области <math>A\subset\mathbb C,</math> и для любой замкнутой жордановой кривой <math>\Gamma\subset A</math> справедливо соотношение <math>\oint\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0</math>
Доказательство
Приведем доказательство, когда область <math> D</math> односвязна, а производная <math>f</math> непрерывна.
Из уравнений Коши — Римана следует, что дифференциальная форма <math>f(z)\,dz</math> замкнута.
Пусть теперь <math>\Gamma</math> — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции <math>f(z)</math>, ограничивающий область <math>D</math>.
Тогда по теореме Стокса имеем:
- <math>\int\limits_{\Gamma}f(z)\,dz = \int\limits_{\partial D} f(z)\,dz = \int\limits_D d[f(z)\,dz] = 0 </math>
Обобщение
Можно доказать и без дополнительных предположений о непрерывности производной. Идея доказательства в том, что достаточно установить существование первообразной у дифференциальной формы <math>f(z)dz</math>. Для этого достаточно доказать, что интеграл по любому прямоугольнику с параллельными координатным осям сторонами равен нулю.
Если этот интеграл отличен от нуля и равен числу <math>a</math>, то при разрезании прямоугольника на 4 равных прямоугольника (снова с параллельными координатным осям сторонами) модуль интеграла по одному из прямоугольников уменьшится максимум вчетверо. Разрежем и его и будем продолжать этот процесс. Но у вложенной последовательности прямоугольников должна быть общая точка <math>p</math>, в достаточно малой окрестности которой <math>f(z)=f(p)+f'(p)(z-p)+o(z-p)</math>.
Но интеграл по очень близкому прямоугольнику первых двух слагаемых равен нулю, а интеграл последнего слишком мал. Противоречие доказывает теорему.
Прочее
Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.
См. также
Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука. — 1969, 577 стр.
Шаблон:Math-stub
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|