Теорема Голода-Шафаревича — теорема алгебры. Была сформулирована и доказана Е. С. Голодом и И. Р. Шафаревичем в 1964 г.[1][2] Важными следствиями из неё являются отрицательный ответ на проблему Куроша (существует ниль-алгебра, не являющаяся локально нильпотентной)Шаблон:Sfn, отрицательный ответ на общую проблему Бернсайда (существует периодическая группа, не являющаяся локально конечной)Шаблон:Sfn.
Условия
Пусть <math>T = F \left [ x_{1}, ..., x_{d} \right ]</math> — кольцо полиномов от некоммутирующих переменных <math>x_{1}, ..., x_{d}</math> над произвольным полем <math>F</math>. Пусть <math>T</math> является градуированной алгеброй благодаря определению на ней функции степени.
Представим <math>T</math> в виде суммы подпространств <math>T = T_{0} + T_{1} + \ldots + T_{n} + \ldots</math>,
где <math>T_{0} = F</math>, а <math>T_{n}</math> имеет базис из <math>d^{n}</math> элементов вида <math>x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}</math>, где переменные <math>x_{i_{j}}</math> выбираются из множества <math>\left \{ x_{1}, ..., x_{d} \right \}</math>.
Назовем элементы пространства <math>T_{n}</math> однородными элементами степени <math>n</math>.
Пусть <math>\mathfrak{U} = (f_{1}, f_{2}, ...)</math> — двусторонний идеал алгебры <math>T</math>, порождённый однородными элементами <math> f_{1}, f_{2}, ... </math> степеней <math> n_{1}, n_{2}, ... </math> соответственно. Упорядочим <math> n_{1}, n_{2}, ... </math> так, чтобы <math>2 \leqslant n_{1} \leqslant n_{2} \leqslant \ldots </math>. Число тех элементов <math>f_{j}</math>, степени которых равны <math>i</math> обозначим как <math>r_{i}</math>.
Факторалгебра <math>A=T / \mathfrak{U}</math> наследует градуировку из <math>T</math> вследствие того, что идеал <math>\mathfrak{U}</math> порожден однородными элементами.
Факторалгебра может быть представлена в виде суммы <math>A = A_{0} + A_{1} + \ldots + A_{n} + \ldots</math>, где <math>A_{i} \simeq T / \mathfrak{U} \cap T_{i}</math>.
Пусть <math>b_{n}=\dim_{F}A_{n}</math>.
Формулировка
Алгебра <math>A</math>, описанная в условиях теоремы, обладает следующими свойствами:
- <math>b_{n} \geqslant d b_{n-1} - \sum_{n_{i} \leqslant n} b_{n - n_{i}}</math> для всех <math>n \geqslant 1</math>.
- Если для каждого <math>i</math> <math>r_{i} \leqslant \left ( \frac{d-1}{2} \right )^{2}</math>, то <math>A</math> бесконечномерна над <math>F</math>.
Доказательство
Доказательство теоремы занимает <math>4</math> страницы в книге Шаблон:Sfn
См. также
Примечания
Шаблон:Примечания
Литература
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|