Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими.
Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает вещественная прямая.
Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства.
В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.
Названа в честь Эмиля Бореля.
Связанные понятия
- Борелевское пространство — топологическое пространство, снабжённое борелевской сигма-алгеброй.
- Борелева (борелевская) функция — отображение одного топологического пространства в другое (обычно оба суть пространства вещественных чисел), для которого прообраз любого борелевского множества есть борелевское множество.
- Мера Бореля — мера определённая на всех открытых (а значит, и на всех борелевских) множествах топологического пространства.
Свойства
- Всякое борелевское множество на отрезке является измеримым относительно меры Лебега, но обратное неверно.
Пример измеримого по Лебегу, но не борелевского множества
Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое подмножество может не быть борелевским.
Рассмотрим функцию <math>f(x) = \tfrac{1}{2}(x+c(x))</math> на отрезке <math>[0,1]</math>, где <math>c(x)</math> — канторова лестница.
Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Также измерима обратная к ней функция <math>g</math>.
Мера образа канторова множества равна <math>\tfrac{1}{2}</math>, так как мера образа его дополнения равна <math>\tfrac{1}{2}</math>.
Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество <math>A</math>.
Тогда его прообраз <math>D=f^{-1}(A)</math> измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе <math>A</math> было бы измеримо как прообраз борелевского множества <math>D</math> при измеримом отображении <math>g</math>).
Литература
Шаблон:Rq
Шаблон:Interwiki extra
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|