Декартов лист — плоскаяалгебраическая кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе <math>x^3 + y^3 = 3axy</math>.
Параметр <math> 3a</math> определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.
Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где <math>x</math> и <math>y</math> принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (Шаблон:Lang-en, Шаблон:Lang-fr).
В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.
Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол <math>\alpha=\frac{\pi}{4}</math> и переориентацией оси OX в противоположном направлении:
<math> \begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -u \\ v \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{vmatrix}</math>
Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так:
<math>\textstyle x = - u \cos \alpha - v \sin \alpha</math>
<math>\textstyle y = - u \sin \alpha + v \cos \alpha</math>, или
После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду:
<math> v^2 = \frac{u^2}{3} \frac{3a + u \sqrt{2}}{a - u \sqrt{2}} </math>.
Вводим параметр <math> l = \frac{3a}{ \sqrt{2}}</math>, последнее уравнение перепишется так:
<math> v^2 = u^2 \frac{l + u}{l - 3u} </math>
или
<math> v = \pm u \sqrt{\frac{l + u}{l - 3u}} </math>.
Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат:
<math> y = \pm x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}} </math>
Подставив в уравнение предыдущее <math> x = \rho \cos \varphi,\ y = \rho \sin \varphi</math>, получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат:
Прямая <math>OA</math> — ось симметрии, её уравнение: <math> y = x </math>.
Точка A называется вершиной, её координаты <math>\left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right)</math>.
Для обеих ветвей существует асимптота <math>UV</math>, её уравнение: <math>x+y+a=0</math>.
Вывод уравнения асимптоты
Для повёрнутого декартового листа:
При <math>y=0</math> имеем
<math>x=0</math> или <math>\textstyle\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}= 0</math>,
Рассматриваем второй случай: <math>l+x=0</math>, то есть, <math>x=-l</math>, то есть <math>\textstyle x =-\frac{3a}{\sqrt{2}}</math>, значит <math>\textstyle OA = \frac{3a}{\sqrt{2}}</math>.
Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли <math>\textstyle S_2=S_1=\frac{3}{2}a^2</math>.
Нахождение площади <math>S_2</math>
Площадь <math> S_2</math>, заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь <math> S_1</math>; интеграл берётся в пределах от 0 до <math>\textstyle\frac{l}{3}</math>.
Объём (<math>V_2</math>) тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от <math>0</math> до <math> \frac{t}{3}</math>. Этот интеграл равен бесконечности, то есть
<math> V_2 = \infty</math>.
Исследование кривой
При <math> y = 0</math> имеем <math> x = 0</math> или
<math> \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}} = 0</math>, или
<math> l + x = 0 \Rightarrow x = - l \Rightarrow x = - \frac{3a}{ \sqrt{2}}</math>, то есть <math> OA = \frac{3a}{ \sqrt{2}}</math>.
Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:
<math> l - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{l}{3} = \frac{a}{ \sqrt{2}}</math>.
Производная
Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:
Приравниваем производную y' к нулю и решаем полученное уравнение относительно x. Получим:
<math> x = - \frac{l}{ \sqrt{3}} </math>. При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге <math>ACO</math> — точка <math>C</math> и минимум на нижней дуге <math>ABO</math> — точка <math>B</math>. Значение функции в этих точках равно:
Значение производной y’ в точке <math>O</math> равно <math> \pm 1</math>, то есть касательные в точке <math>O</math> взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом <math> \pm \frac{ \pi}{4}</math>.