Родился 8 (20 марта) 1898 года в селе Клеванцево (ныне Шаблон:Место рождения). В 1918 году, получив стипендию имени И. С. Тургенева, окончил Кинешемкое реальное училище имени И. А. Коновалова. В 1922 году он поступил в Московский университет на химическое отделение физико-математического факультета, который окончил в 1927 году. По окончании университета Б. А. Догадкин занимался научно-педагогической деятельностью. В 1929 году работал в коллоидном секторе в должности научного сотрудника Научно-исследовательского института резиновой промышленности (НИИРП). Позже работал в НИИ шинной промышленности после его выделения из состава НИИРП как самостоятельной научной базы[1].
В 1930 году работал ассистентом кафедры физической химии МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1932—1933 годах, будучи доцентом, заведует кафедрой физической и коллоидной химии Московского нефтяного института, а с 1933 года становится профессором и заведующим вновь организованной им кафедры в МИТХТ имени М. В. Ломоносова, которой он бессменно заведовал до ухода на пенсию в 1974 году. Одновременно (до 1958 года) Б. А. Догадкин возглавлял физико-химический отдел НИИ шинной промышленности. В течение нескольких лет был деканом факультета технологии резины МИТХТ имени М. В. Ломоносова.
В настоящее время имя Бориса Аристарховича Догадкина носит основанная им кафедра физики и химии материалов имени Догадкина Б.А. Физико-технологического института МИРЭА - Российского технологического университета[2].
