Русская Википедия:Заряд (теория меры)
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Шаблон:Значения Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой <math>\sigma</math>-алгебре, (например, борелевских подмножеств).
В отличие от обычной меры, под которой обычно понимают неотрицательную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения.
Множество всех зарядов над произвольным множеством <math>X</math> c сигма-алгеброй <math>\Sigma</math> принято обозначать <math>\operatorname{ba}(X,\;\Sigma)</math>.
Связанные определения
- Положительный заряд <math>\nu\in \operatorname{ba}(X,\;\Sigma)</math> называется чисто конечно аддитивным, если для любой неотрицательной счётно-аддитивной меры <math>\mu</math> из <math>0\leqslant\mu\leqslant\nu</math> вытекает, что <math>\mu=0</math>.
- Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды <math>\nu^{+}</math> и <math>\nu^{-}</math>.
- Заряд <math>\lambda</math> абсолютно непрерывен относительно меры <math>\mu</math>, если <math>(\forall A\in \Sigma) ( \mu(A)=0 \to \lambda(A)=0 ).</math>
Свойства
- Множество всех зарядов образует нормированную решётку и даже, более того, <math>K</math>-пространство.
- Для любого заряда <math>\nu</math> имеется положительная часть <math>\nu^{+}\geqslant 0</math> и отрицательная часть <math>\nu^{-}\leqslant 0</math>. Имеет место разложение Хана — Жордана <math>\nu=\nu^++ \nu^-</math>, в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
- Пусть <math>\mu\in \operatorname{ba}(X,\;\Sigma)</math>.
Любой заряд <math>\nu</math> единственным образом представим в виде суммы <math>\nu=\nu_{1}+\nu_{2}</math>, где <math>\nu_{1}</math> абсолютно непрерывна относительно <math>\mu</math> и <math>\nu_{2}</math> дизъюнктна <math>\mu</math>. Такое представление меры <math>\nu</math> принято назвать разложением по Лебегу. - Любой заряд <math>\nu\in \operatorname{ba}(X,\;\Sigma)</math> единственным образом представим в виде суммы <math>\nu=\nu_{ca}+\nu_{pfa}</math>, где <math>\nu_{ca}</math> — произвольная счётно-аддитивная мера, а <math>\nu_{pfa}</math> — произвольный чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита.
- Пространство <math>\operatorname{ba}(X,\;\Sigma)</math> является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций, заданных над данным измеримым пространством.
История
Термин «заряд» был впервые введён А. Д. Александровым. Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (1940-е годы).
См. также
- [[|en]] (Hahn decomposition theorem)
Литература
- Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — Шаблон:М: ИЛ, 1962.
- Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — Шаблон:М, 1966.
- Халмош П. Теория меры. // Пер. с англ. — Шаблон:М, 1953.
- Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I // Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
- Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II // Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
- Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III // Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
- Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66.
