Русская Википедия:Интеграл Фреше

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Интеграл Фреше — интеграл, задаваемый на множестве элементов <math>F</math> произвольной природы.

Для определения интеграла Фреше на множестве <math>F</math> рассматривается некоторое <math>\sigma</math>-кольцо множеств <math>T</math> с заданной на нём счётно-аддитивной функцией множества <math>\Phi(E)</math> c вариациями <math>\overline{W}(\Phi, E)</math> и <math>\underline{W}(\Phi, E)</math>. Пусть <math>f(x)</math> — неотрицательная действительная функция элемента <math>x</math> пространства <math>F</math>. Функция <math>f(x)</math> называется суммируемой относительно <math>\Phi</math> на множестве <math>E \subset T</math>, если сходится ряд <math>\sum_{i}M_{i}W(\Phi, E_{i})</math> при некотором разбиении множества <math>E</math> на непересекающиеся слагаемые <math>E_{i}</math>, <math>E_{i} \subset T</math>, <math>M_{i} = \sup_{E_{i}} f</math>.

Интеграл в смысле Фреше от функции <math>f(x)</math> определяется как разность интегралов относительно <math>\overline{W}(\Phi, E)</math> и <math>\underline{W}(\Phi, E)</math>.

Необходимые и достаточные условия существования интеграла Фреше

Для того, чтобы суммируемая функция <math>f(x)</math> была интегрируемой в смысле Фреше, необходимо и достаточно, чтобы при всяком действительном <math>a</math> множество <math>E_{x}(f(x) > a)</math> отличалось от множества из <math>\sigma</math>-кольца <math>T</math> на некоторое подмножество множества меры нуль, принадлежащего <math>\sigma</math>-кольцу.

Литература

• Шаблон:Книга