Русская Википедия:Принцип Мопертюи

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Принцип Мопертюи — принцип, согласно которому консервативная голономная система в классической механике изменяет своё состояние так, чтобы интеграл от корня квадратного её кинетической энергии был минимален на траектории движенияШаблон:Sfn. Назван по имени автора — Пьера Мопертюи.

Формулировка

Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией <math>E</math> и потенциальной энергией <math>U</math>. Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы <math>\int \sqrt{E-U}ds = min</math>.

Доказательство

Рассмотрим вариацию <math>\delta \int \sqrt{E-U}ds = \int \left \{ \sqrt{E-U} \delta ds - \frac{\delta U}{2 \sqrt{E-U}} ds \right \} = 0</math>. Воспользуемся равенствами <math>\delta ds = \frac{dx}{ds} \delta dx</math> и <math>\delta U = \frac{\partial U}{\partial x}\delta x</math>. Получим <math>\int \sqrt{E-U} \frac{dx}{ds} \delta dx - \int \frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{2 \sqrt{E-U}} \delta x ds = 0</math>. Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем: <math>\int_{1}^{2} \sqrt{E-U} \frac{dx}{ds} \delta dx = \Bigl. \sqrt{E-U} \frac{dx}{ds} \delta x \Bigr|_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{d}{ds} \left \{ \sqrt{E-U} \frac{dx}{ds} \right \}\delta x ds</math>. Первый член обращается в нуль вследствие вариаций <math>\delta x</math> на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия <math>\int \left \{ \frac {d}{ds} \left [ \sqrt{E-U} \frac {dx}{ds} \right ] + \frac{1}{2 \sqrt{E-U}} \frac{\partial U}{\partial x} \right \} \delta x ds = 0</math> Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации. Получаем <math>\frac{d}{ds} \left [ \sqrt{E-U} \frac{dx}{ds} \right ] = - \frac{1}{2 \sqrt{E-U}}\frac{\partial U}{\partial x}</math>. С учётом равенств <math>V = \sqrt{\frac{2}{m}} \sqrt{E-U}</math>, <math>dt = \frac{ds}{V} = \sqrt{\frac{m}{2}} \frac{ds}{\sqrt{E-U}}</math> получим правильные уравнения движения <math>m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{\partial U}{\partial x}</math>. Этим доказывается справедливость принципа <math>\int \sqrt{E-U}ds = min</math>.Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга