Русская Википедия:Тригонометрическая подстановка

В математике тригонометрическая подстановка — это подстановка из тригонометрических функций для других выражений. В исчислении тригонометрическая подстановка — это метод вычисления интегралов. Более того, можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальное выражение^[1]^[2]. Как и другие методы интегрирования путём подстановки, при вычислении определённого интеграла может быть проще полностью вывести первообразную перед применением границ интегрирования.

Случай I: Подынтегральные выражения, содержащие a² − x²

Пусть <math>x = a \sin \theta</math>, и используйте тождество <math>1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta</math>.

Примеры Случая I

Файл:Trig Sub Triangle 1.png

Геометрическая конструкция для Случая I

Пример 1

В интеграле

можно использовать

<math>x=a\sin \theta,\quad dx=a\cos\theta\, d\theta, \quad \theta=\arcsin\frac{x}{a}.</math>

Тогда

<math>\begin{align}

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} &= \int\frac{a\cos\theta \,d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2 \theta}} \\[6pt]
  &= \int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2(1 - \sin^2 \theta )}} \\[6pt]
  &= \int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta}} \\[6pt]
  &= \int d\theta \\[6pt]
  &= \theta + C \\[6pt]
  &= \arcsin\frac{x}{a}+C.
\end{align}</math>

Вышеупомянутый шаг требует, чтобы <math>a > 0</math> и <math>\cos \theta > 0</math>. Мы можем выбрать <math>a</math> в качестве главного корня <math>a^2</math> и наложить ограничение <math>-\pi /2 < \theta < \pi /2</math> с помощью функции обратного синуса.

Для определённого интеграла нужно выяснить, как меняются границы интегрирования. Например, если <math>x</math> изменяется от <math>0</math> до <math>a/2</math>, тогда <math>\sin \theta</math> изменяется от <math>0</math> до <math>1/2</math>, поэтому <math>\theta</math> изменяется от <math>0</math> до <math>\pi / 6</math>. Тогда

<math>\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int_0^{\pi/6} d\theta = \frac{\pi}{6}.</math>

При выборе границ требуется некоторая осторожность. Поскольку приведённая выше интеграция требует, чтобы <math>-\pi /2 < \theta < \pi /2</math>, значение <math>\theta</math> может изменяться только от <math>0</math> до <math>\pi / 6</math>. Пренебрегая этим ограничением, можно было бы выбрать <math>\theta</math> для перехода от <math>\pi</math> к <math>5\pi /6</math>, что привело бы фактически к отрицательному значению.

В качестве альтернативы можно полностью вычислить неопределённые интегралы перед применением граничных условий. В этом случае первообразная даёт

<math>\int_{0}^{a/2} \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) \Biggl|_{0}^{a/2}

= \arcsin \left ( \frac{1}{2}\right) - \arcsin (0) = \frac{\pi}{6}</math> как прежде.

Пример 2

Интеграл

можно оценить путём представления <math>x=a\sin \theta,\, dx=a\cos\theta\, d\theta,\, \theta=\arcsin\frac{x}{a},</math>

где <math>a > 0</math>, так что <math>\sqrt{a^2}=a</math> и <math>-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}</math> по диапазону арксинуса, так что <math>\cos \theta \ge 0</math> и <math>\sqrt{\cos^2 \theta} = \cos \theta</math>.

Тогда

<math>\begin{align}

\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx &= \int\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}\,(a\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]
  &= \int\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}\,(a\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]
  &= \int\sqrt{a^2(\cos^2\theta)}\,(a\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]
  &= \int(a\cos\theta)(a\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]
  &= a^2\int\cos^2\theta\,d\theta \\[6pt]
  &= a^2\int\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)\,d\theta \\[6pt]
  &= \frac{a^2}{2} \left(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta \right) + C \\[6pt]
  &= \frac{a^2}{2}(\theta+\sin\theta\cos\theta) + C \\[6pt]
  &= \frac{a^2}{2}\left(\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right) + C \\[6pt]
  &= \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C.
\end{align}</math>

Для определённого интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с помощью уравнения <math>\theta = \arcsin\frac{x}{a}</math> со значениями в диапазоне <math>-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}</math>. Или же можно применить граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определённый интеграл

можно оценить, подставив <math>x = 2\sin\theta, \,dx = 2\cos\theta\,d\theta</math>, с оценками, определёнными с помощью <math>\theta = \arcsin\frac{x}{2}</math>, <math>\arcsin(1/2) = \pi/6</math> и <math>\arcsin(-1/2) = -\pi/6</math>.

Тогда

<math>\begin{align}

\int_{-1}^1\sqrt{4-x^2}\,dx &= \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\sqrt{4-4\sin^2\theta}\,(2\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]
  &= \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\sqrt{4(1-\sin^2\theta)}\,(2\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]
  &= \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\sqrt{4(\cos^2\theta)}\,(2\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]
  &= \int_{-\pi/6}^{\pi/6}(2\cos\theta)(2\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]
  &= 4\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos^2\theta\,d\theta \\[6pt]
  &= 4\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)\,d\theta \\[6pt]
  &= 2 \left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2\theta \right]^{\pi/6}_{-\pi/6}
= [2\theta+\sin 2\theta] \Biggl |^{\pi/6}_{-\pi/6} \\[6pt]
&= \left(\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}\right)-\left(-\frac{\pi}{3}+\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)
= \frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}.
\end{align}</math>

С другой стороны, прямое применение граничных членов к ранее полученной формуле для первообразных даёт

<math>\begin{align}

\int_{-1}^1\sqrt{4-x^2}\,dx &= \left[ \frac{2^2}{2}\arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{2^2-x^2} \right]_{-1}^{1}\\[6pt] &= \left( 2 \arcsin \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{4-1}\right) - \left( 2 \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{-1}{2}\sqrt{4-1}\right)\\[6pt] &= \left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left( 2\cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\sqrt 3}{2}\right)\\[6pt] &= \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3} \end{align} </math> как прежде.

Случай II: Подынтегральные выражения, содержащие a² + x²

Примеры Случая II

Файл:Trig Sub Triangle 2.png

Геометрическая конструкция для Случая II

Пример 1

В интеграле

можно написать

<math>x=a\tan\theta,\quad dx=a\sec^2\theta\, d\theta, \quad \theta=\arctan\frac{x}{a},</math>

так что интеграл становится

<math>\begin{align}

\int\frac{dx}{a^2+x^2} &= \int\frac{a\sec^2\theta\, d\theta}{a^2 + a^2\tan^2\theta} \\[6pt]
  &= \int\frac{a\sec^2\theta\, d\theta}{a^2(1+\tan^2\theta)} \\[6pt]
  &= \int\frac{a\sec^2\theta\, d\theta}{a^2\sec^2\theta} \\[6pt]
  &= \int\frac{d\theta}{a} \\[6pt]
  &= \frac{\theta}{a}+C \\[6pt]
  &= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C,
\end{align}</math>

при условии <math>a \neq 0</math>.

Для определённого интеграла границы изменяются после выполнения замены и определяются с помощью уравнения <math>\theta = \arctan\frac{x}{a}</math> со значениями в диапазоне <math>-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}</math>. Или же можно применить граничные члены непосредственно к формуле первообразной.

Например, определённый интеграл

можно оценить, подставив <math>x = \tan\theta, \,dx = \sec^2\theta\,d\theta</math>, с оценками, определёнными с помощью <math>\theta = \arctan x</math>, <math>\arctan 0 = 0</math> и <math>\arctan 1 = \pi/4</math>.

Тогда

<math>\begin{align}

\int_0^1\frac{4\,dx}{1+x^2} &= 4\int_0^1\frac{dx}{1 + x^2} \\[6pt]
  &= 4\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta\, d\theta}{1+\tan^2\theta} \\[6pt]
  &= 4\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta\, d\theta}{\sec^2\theta} \\[6pt]
  &= 4\int_0^{\pi/4}d\theta \\[6pt]
  &= (4\theta)\Bigg|^{\pi/4}_0 = 4 \left (\frac{\pi}{4} - 0 \right) = \pi.
\end{align}</math>

Между тем, прямое применение граничных членов к формуле для первообразных даёт

<math>\begin{align}

\int_0^1\frac{4}{1+x^2}\,dx &= 4\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} \\ &= 4\left[\frac{1}{1} \arctan \frac{x}{1} \right]^1_0 \\ &= 4(\arctan x)\Bigg|^1_0 \\ &= 4(\arctan 1 - \arctan 0) \\ &= 4 \left (\frac{\pi}{4} - 0 \right) = \pi, \end{align}</math> так же, как прежде.

Пример 2

Интеграл

можно оценить путём представления <math>x=a\tan\theta,\, dx=a\sec^2\theta\, d\theta, \, \theta=\arctan\frac{x}{a},</math>

где <math>a > 0</math>, так что <math>\sqrt{a^2}=a</math> и <math>-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}</math> по диапазону арктангенса, так что <math>\sec \theta > 0</math> и <math>\sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta</math>.

Тогда

<math>\begin{align}

\int\sqrt{a^2+x^2}\,dx &= \int\sqrt{a^2 + a^2\tan^2\theta}\,(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]
  &= \int\sqrt{a^2 (1+\tan^2\theta)}\,(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]
  &= \int\sqrt{a^2 \sec^2\theta}\,(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]
  &= \int(a \sec\theta)(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]
  &= a^2\int \sec^3\theta\, d\theta. \\[6pt]
\end{align}</math>

Интеграл секанса в кубе можно вычислить с помощью интегрирования по частям. Как результат

<math>\begin{align}

\int\sqrt{a^2+x^2}\,dx &= \frac{a^2}{2}(\sec\theta \tan\theta + \ln|\sec\theta+\tan\theta|)+C \\[6pt]
 &= \frac{a^2}{2}\left(\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac{x}{a} + \ln\left|\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}+\frac{x}{a}\right|\right)+C \\[6pt]
 &= \frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2+x^2} + a^2\ln\left|\frac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{a}\right|\right)+C.
\end{align}</math>

Случай III: Подынтегральные выражения, содержащие x² − a²

Пусть <math>x = a \sec \theta</math> и используется тождество <math>\sec^2 \theta -1 = \tan^2 \theta.</math>

Примеры Случая III

Файл:Trig Sub Triangle 3.png

Геометрическая конструкция для Случая III

Интегралы типа

также можно вычислить частичными дробями, а не тригонометрическими подстановками. Однако интеграл

нельзя. В этом случае подходящей подстановкой будет:

<math>x = a \sec\theta,\, dx = a \sec\theta\tan\theta\, d\theta, \, \theta = \arcsec\frac{x}{a},</math>

где <math>a > 0</math>, так что <math>\sqrt{a^2}=a</math> и <math>0 \le \theta < \frac{\pi}{2}</math>, предполагая <math>x > 0</math>, так что <math>\tan \theta \ge 0</math> и <math>\sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta</math>.

Тогда

<math>\begin{align}

\int\sqrt{x^2 - a^2}\, dx &= \int\sqrt{a^2 \sec^2\theta - a^2} \cdot a \sec\theta\tan\theta\, d\theta \\
  &= \int\sqrt{a^2 (\sec^2\theta - 1)} \cdot a \sec\theta\tan\theta\, d\theta \\
  &= \int\sqrt{a^2 \tan^2\theta} \cdot a \sec\theta\tan\theta\, d\theta \\
  &= \int a^2 \sec\theta\tan^2\theta\, d\theta \\
  &= a^2 \int (\sec\theta)(\sec^2\theta - 1)\, d\theta \\
  &= a^2 \int (\sec^3\theta - \sec\theta)\, d\theta.
\end{align}</math>

Можно вычислить интеграл функции секанс, умножив числитель и знаменатель на <math>( \sec \theta + \tan \theta)</math> и интеграл секанса в кубе по частям^[3]. Как результат

<math>\begin{align}

\int\sqrt{x^2-a^2}\,dx &= \frac{a^2}{2}(\sec\theta \tan\theta + \ln|\sec\theta+\tan\theta|)-a^2\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C \\[6pt]
 &= \frac{a^2}{2}(\sec\theta \tan\theta - \ln|\sec\theta+\tan\theta|)+C \\[6pt]
 &= \frac{a^2}{2}\left(\frac{x}{a}\cdot\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1} - \ln\left|\frac{x}{a}+\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}\right|\right)+C \\[6pt]
 &= \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2-a^2} - a^2\ln\left|\frac{x+\sqrt{x^2-a^2}}{a}\right|\right)+C.
\end{align}</math>

Если <math>\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi</math>, что происходит, когда <math>x < 0</math> с заданным диапазоном арксеканса, то <math>\tan \theta \le 0</math>, что в данном случае означает <math>\sqrt{\tan^2 \theta} = -\tan \theta</math>.

Подстановки, исключающие тригонометрические функции

Подстановка может использоваться для удаления тригонометрических функций.

Например,

<math>\begin{align}

\int f(\sin(x), \cos(x))\, dx &=\int\frac1{\pm\sqrt{1-u^2}} f\left(u,\pm\sqrt{1-u^2}\right)\, du && u=\sin (x) \\[6pt] \int f(\sin(x), \cos(x))\, dx &=\int\frac{1}{\mp\sqrt{1-u^2}} f\left(\pm\sqrt{1-u^2},u\right)\, du && u=\cos (x) \\[6pt] \int f(\sin(x), \cos(x))\, dx &=\int\frac2{1+u^2} f \left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\, du && u=\tan\left (\tfrac{x}{2} \right ) \\[6pt] \end{align}</math>

Последняя подстановка известна как подстановка Вейерштрасса, в которой используются формулы тангенса половинного угла.

Например,

<math>\begin{align}

\int\frac{4 \cos x}{(1+\cos x)^3}\, dx &= \int\frac2{1+u^2}\frac{4\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)}{\left(1+\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^3}\, du = \int (1-u^2)(1+u^2)\, du \\&= \int (1-u^4)\,du = u - \frac{u^5}{5} + C = \tan \frac{x}{2} - \frac{1}{5} \tan^5 \frac{x}{2} + C. \end{align}</math>

Гиперболическая подстановка

Подстановки гиперболических функций также могут использоваться для упрощения интегралов^[4].

В интеграле <math>\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\, dx</math> можно сделать подстановку <math>x=a\sinh{u}</math>, <math>dx=a\cosh u\, du.</math>

Затем, используя тождества <math>\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = 1</math> и <math>\sinh^{-1}{x} = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}),</math>

можно получить

<math>\begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\, dx &= \int \frac{a\cosh u}{\sqrt{a^2+a^2\sinh^2 u}}\, du\\[6pt] &=\int \frac{a\cosh{u}}{a\sqrt{1+\sinh^2{u}}}\, du\\[6pt] &=\int \frac{a\cosh{u}}{a\cosh u}\, du\\[6pt] &=u+C\\[6pt] &=\sinh^{-1}{\frac{x}{a}}+C\\[6pt] &=\ln\left(\sqrt{\frac{x^2}{a^2} + 1} + \frac{x}{a}\right) + C\\[6pt] &=\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+a^2} + x}{a}\right) + C. \end{align}</math>

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Шаблон:Тригонометрия Шаблон:Интегральное исчисление

[1] Шаблон:Cite book

[2] Шаблон:Cite book

[3] Шаблон:Cite book

[4] Шаблон:Cite web

[1]

[2]

[3]

[4]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Тригонометрическая подстановка

Содержание

Случай I: Подынтегральные выражения, содержащие a² − x²

Примеры Случая I

Пример 1

Пример 2

Случай II: Подынтегральные выражения, содержащие a² + x²

Примеры Случая II

Пример 1

Пример 2

Случай III: Подынтегральные выражения, содержащие x² − a²

Примеры Случая III

Подстановки, исключающие тригонометрические функции

Гиперболическая подстановка

См. также

Примечания

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты

Русская Википедия:Тригонометрическая подстановка

Случай I: Подынтегральные выражения, содержащие a2 − x2

Примеры Случая I

Пример 1

Пример 2

Случай II: Подынтегральные выражения, содержащие a2 + x2

Примеры Случая II

Пример 1

Пример 2

Случай III: Подынтегральные выражения, содержащие x2 − a2

Примеры Случая III

Подстановки, исключающие тригонометрические функции

Гиперболическая подстановка

См. также

Примечания

Навигация

Поиск

Случай I: Подынтегральные выражения, содержащие a² − x²

Случай II: Подынтегральные выражения, содержащие a² + x²

Случай III: Подынтегральные выражения, содержащие x² − a²