Русская Википедия:Функция Гудермана
Фу́нкция Гудерма́на (гудерманиа́н, или гиперболи́ческая амплиту́да[1]) — функция, показывающая связь тригонометрических и гиперболических функций без привлечения комплексных чисел. Названа в честь немецкого математика Кристофа Гудермана. Обозначается <math>\operatorname{gd} x,\, \operatorname{amph} x</math> или <math>\gamma (x).</math> Возникает в задаче отображения плоскости на сферу в картографической проекции Меркатора.
Определение и свойства
Гудерманиан определяется следующим образом:
- <math>\operatorname{gd} x =\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{\operatorname{ch}\,t}.</math>
Основные соотношения, иногда используемые как альтернативные определения:
- <math>\operatorname{gd} x \, = 2\,\operatorname{arctg}\left(\operatorname{th}\frac{x}{2}\right) \, = \, 2\,\operatorname{arctg}\,e^x-{\pi\over2} \, = \, \operatorname{arctg}(\operatorname{sh} x )= \, \arcsin(\operatorname{th} x ).</math>
Имеют место также следующие тождества, связывающие через гудерманиан тригонометрические и гиперболические функции: Шаблон:Кол
- <math>\operatorname{th}\frac{x}{2}=\operatorname{tg}\frac{\operatorname{gd} x }{2}</math>
- <math>\operatorname{sh} x =\operatorname{tg}(\operatorname{gd} x )</math>
- <math>\operatorname{ch} x =\sec(\operatorname{gd} x )</math>
- <math>\operatorname{th} x =\sin(\operatorname{gd} x )\ </math>
- <math>\operatorname{sech} x =\cos(\operatorname{gd} x )\ </math>
- <math>\operatorname{csch} x =\operatorname{ctg}(\operatorname{gd} x )\ </math>
- <math>\operatorname{cth} x =\operatorname{cosec}(\operatorname{gd} x )\ </math>
Гудерманиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на всей числовой прямой. Его область значений лежит на отрезке Шаблон:Math. Значения Шаблон:Math являются асимптотами функции при стремлении её аргумента к <math>\plusmn\infty.</math>
Используя определение функции Гудермана, можно расширить её область определения на комплексную плоскость. Для комплексного аргумента Шаблон:Math выполняются тождества:
- <math>\operatorname{tg}\operatorname{Re} (\operatorname{gd} z) =\frac{\operatorname{sh} x}{\cos y },</math>
- <math>\operatorname{th}\operatorname{Im} (\operatorname{gd} z) =\frac{\sin y }{\operatorname{ch} x},</math>
- <math>\operatorname{th} x =\frac{\sin\operatorname{Re}(\operatorname{gd} z )}{\operatorname{ch}\operatorname{Im} (\operatorname{gd} z)}, </math>
- <math>\operatorname{tg} y =\frac{\operatorname{sh}\operatorname{Im} (\operatorname{gd} z)}{\cos\operatorname{Re}(\operatorname{gd} z )}, </math>
а также
- <math>\operatorname{th} x \cdot \operatorname{tg} y =\operatorname{tg}\operatorname{Re} (\operatorname{gd} z) \cdot \operatorname{th}\operatorname{Im} (\operatorname{gd} z).</math>
Связь гудерманиана и экспоненциальной функции задаётся тождествами:
- <math>e^x = \sec\operatorname{gd} x + \operatorname{tg}\operatorname{gd} x = \operatorname{tg}\frac{\pi+2\operatorname{gd} x}{4} = \frac{1 + \sin\operatorname{gd} x}{\cos \operatorname{gd} x}.</math>
Обратная функция
Обратная функция к функции Гудермана:
- <math>\operatorname{arcgd} x \, = \, {\operatorname{gd}}^{-1} x \, = \, \int\limits_0^x \frac{dt}{\cos t}.</math>
Она называется антигудерманианом, а также ламбертианом или функцией Ламберта (в честь Иоганна Ламберта), и обозначается также как <math>\operatorname{lam} x</math> или <math>\operatorname{arcgd} x.</math> Её, как и функцию Гудермана, используют в теории построения картографических проекций; она позволяет перейти от географической широты точки на сфере к вертикальной координате образа точки в проекции Меркатора (см. также Интеграл от секанса). Основные тождества для функции Ламберта:
- <math>\operatorname{arcgd} x \, = \, \operatorname{arch}(\sec x)=\operatorname{arth}(\sin x)=\operatorname{arsh}(\operatorname{tg} x)\, = \,\ln\bigl((1+\sin(x))\cdot\sec x\bigr)\, = \,\ln(\operatorname{tg}x+\sec x)=\ln\biggl(\!\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\!\!\biggr)\, = \,\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \biggr).</math>
Имеют место также следующие тождества, связывающие через ламбертиан тригонометрические и гиперболические функции:
- <math>\begin{align}\operatorname{sh}\left(\operatorname{arcgd}x\right)&=\operatorname{tg} x;&\quad\operatorname{ch}\left(\operatorname{arcgd} x\right)&=\sec x;\\
\operatorname{th}\left(\operatorname{arcgd} x\right)&=\sin x ;&\quad\;\operatorname{sch}\left(\operatorname{arcgd} x\right)&=\cos x;\\ \operatorname{cth}\left(\operatorname{arcgd} x\right)&=\operatorname{cosec} x ;&\quad\,\operatorname{csch}\left(\operatorname{arcgd} x\right)&=\operatorname{ctg} x;\\ \operatorname{th}\left(\frac{\operatorname{arcgd} x}{2}\right)&=\operatorname{tg}\frac{x}{2};&\quad\,\operatorname{cth}\left(\frac{\operatorname{arcgd} x}{2}\right)&=\operatorname{ctg}\frac{x}{2}.\\ \end{align}\,\!</math>
Ламбертиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на интервале Шаблон:Math. Её область значений лежит в интервале <math>\plusmn\infty.</math> Как и функция Гудермана, она может быть обобщена для комплексного аргумента.
Функция Гудермана и функция Ламберта связаны следующим соотношением:
- <math>\operatorname{gd} (ix) \, = \, i\operatorname{arcgd} x,</math>
откуда вытекают также соотношения
- <math>\operatorname{gd} (i\operatorname{gd} x) = ix, \qquad \operatorname{arcgd} (i\operatorname{arcgd} x) = ix.</math>
Производные, ряды и интегралы
Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана равны соответственно гиперболическому и тригонометрическому секансу:
- <math>{d \over dx}\,\operatorname{gd} x =\operatorname{sech} x,</math>
- <math>{d \over dx}\,\operatorname{arcgd} x =\sec x.</math>
Разложение в ряд:
- <math>\operatorname{gd} x = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}-\frac{61x^7}{5040}+\frac{277x^9}{72576}+\dots, </math>
- <math>\operatorname{arcgd} x = x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}+\frac{61x^7}{5040}+\frac{277x^9}{72576}+\dots </math>
Коэффициенты разложения гудерманиана и антигудерманиана при членах одинаковой степени совпадают по модулю, однако у членов со степенью 3, 7, 11,... коэффициенты разложения гудерманиана отрицательны, а у обратной функции — положительны.
Интеграл функции Гудермана:
- <math>\int \operatorname{gd} z dz = -\frac{\pi}{2}z + i\left(\operatorname{Li_2}(-ie^x)-\operatorname{Li_2}(ie^x)\right), </math>
где Шаблон:Math — дилогарифм.
Гудерманиан и антигудерманиан, позволяющие легко переходить от гиперболических к тригонометрическим функциям и обратно, используются для аналитического интегрирования методом тригонометрической и гиперболической подстановки.
Литература
- Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1963. 1100 с.
- Янпольский А. Р. Гиперболические функции. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1960. С. 47—50.
- Шаблон:ЯнкеЭмдеЛёш
- Шаблон:Книга
Ссылки
Примечания
- ↑ Название «гиперболическая амплитуда» предложено Гуэлем в 1864 году.
