Электроника:Переменный ток/Реактанс и импеданс – R/L/C-цепи/Последовательные R/L/C-цепи

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Перевод: Макаров В. (valemak) Контакты:</br>* Habr: @vakemak</br>* Сайт: www.valemak.com</br>Перевёл статей: 656.
Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.


Последовательные R/L/C-цепи [1]

Проанализируем такую схему:

Рис. 1. Пример последовательной цепи, содержащий компоненты R, L и C.

Определяем реактанс и импеданс

Первым делом находим реактивное сопротивление (в омах) для катушки индуктивности и конденсатора.

Рис. 2. Вычисляем реактивное сопротивление для L и C компонент цепи.

Следующий шаг – привести все обычные и реактивные сопротивления к математически общей форме: к импедансу.

Запомните: индуктивное реактивное сопротивление переводится в положительный мнимый импеданс (угол +90°), а ёмкостное реактивное сопротивление переводится в отрицательный мнимый импеданс (угол -90°). Разумеется, обычное сопротивление по-прежнему рассматривается как чисто «вещественный» импеданс (полярный угол 0°):

Рис. 3. Все сопротивления (как обычное, так и реактивные) приводим к единой математической форме (как в алгебраическом виде, так и в полярном).
Рис. 4. Найденные импедансы отмечаем на нашей последовательной R/L/C-цепи.

Сводим результаты в единую таблицу и обрабатываем их

Теперь, когда все сопротивления электрическому току выражены в общем формате комплексных чисел (т.е. как импеданс, а не в виде обычного сопротивления или реактивного сопротивления), с ними можно обращаться так же, как мы при табличном анализе обращались с простыми сопротивлениями в цепях постоянного тока.

Настало время, чтобы составить таблицу анализа для нашей схемы и вставить все начальные цифры (на данный момент нам известно общее напряжение, а также мы определили импеданс для резистора, катушки индуктивности и конденсатора).

Рис. 5. Таблица для анализа схемы, пока что нам известны общее напряжение и импеданс каждого элемента.

Если не указано иное, исходное напряжение считается опорным для фазового сдвига, поэтому оно будет записано с полярным углом 0°. Помните, что для напряжения или тока такой вещи, как «абсолютный угол фазового сдвига» не существует. Фазовый сдвиг – это всегда как минимум про две волны, а не про одну. Поэтому волну для общего напряжения берём как базовую и относительно неё рассматриваем остальные волны.

Однако фазовые углы импедансов (для резистора, катушки индуктивности и конденсатора) известны точно, потому что фазовые отношения между напряжением и током для каждом компоненте абсолютно определены.

Обратите внимание, что предполагаются, что катушка индуктивности и конденсатор идеально реактивные с фазовыми углами импеданса в точности +90° и -90° соответственно.

Хотя в реальности компоненты не будут идеальными в этом плане, но тем не менее они довольно близки к идеальности. Для простоты считаем, что с этого момента расчёты производятся для идеально реактивных катушек индуктивности и конденсаторов. Если прямо предполагается, что данные элементы «неидеальны», то это будет оговариваться в отдельном порядке.

Так как наша схема является последовательной, полное сопротивление схемы равно сумме отдельных сопротивлений, так что:

Рис. 6. Общий импеданс – сумма частных импедансов, аналогично для сопротивлений в последовательной цепи.

Найденный общий импеданс вставляем в нашу таблицу:

Рис. 7. В таблицу вписываем найденный общий импеданс.

Теперь мы можем применить закон Ома (I = E/R) по вертикали в столбце «Всего», чтобы найти общую силу тока для этой последовательной цепи:

Рис. 8. Зная общее напряжение и общий импеданс, по закону Ома находим общую силу тока.

Поскольку цепь последовательная, значит сила тока одинакова во всех компонентах. Мы можем взять полученное значение для общего тока и продублировать его в остальных столбцах:

Рис. 9. Для отдельных элементов сила тока такая же, как и для всей последовательной цепи.

Теперь снова применяем закон Ома (E = IZ) в каждом отдельном столбце, найдя таким образом падение напряжения для каждого компонента:

Рис. 10. Для каждого элемента цепи определяем падение напряжения.

Обратите внимание на такую странность: хотя напряжение на источнике питания всего 120 вольт, напряжение на конденсаторе больше и составляет 137,46 вольт! Как такое возможно? Это особенность взаимодействия между индуктивным и ёмкостным сопротивлениями.

Когда всё выражено в импедансах, можно заметить, что катушка индуктивности и конденсатор противодействуют току точно противоположными способами. Выраженный в алгебраической форме, импеданс катушки индуктивности имеет положительный мнимый член, а конденсатор - отрицательный мнимый член.

Когда эти два противоположных по знаку импеданса (последовательно) складываются, они склонны нейтрализовывать друг друга! Хотя они и складываются для получения общей суммы, эта сумма по абсолютному значению меньше, чем один из отдельных (ёмкостных или индуктивных) импедансов.

Это аналогично тому, когда складываются положительное и отрицательное (скалярные) числа: в этом случае абсолютное значение суммы будет меньше, чем абсолютное значение любого слагаемого.

Если общий импеданс последовательной цепи, содержащий и индуктивные и ёмкостные элементы меньше, чем полный импеданс любого элемента в отдельности, то общая сила тока для такой цепи должна быть больше, чем если бы в цепи были бы или только индуктивные элементы или только ёмкостные.

При таком аномально высоком токе, проходящем через каждый из компонентов, на некоторых отдельных элементах могут возникнуть напряжения, превышающие напряжение источника питания! В дальнейшем мы разберём к каким последствиям приводят противоположные реактивные сопротивления катушек индуктивности и конденсаторов в одной цепи.

После того, как вы приучитесь приводить значения всех компонентов к их импедансам (Z), то увидите, что анализ цепей переменного тока в общем и целом имеет такой же уровень сложности, что и анализ цепей постоянного тока. Разве что, дополнительные усилия связаны с тем, что все рассматриваемые величины являются векторными, а не скалярными.

За исключением уравнений, относящихся к мощности (P), уравнения в цепях переменного тока такие же, как и в цепях постоянного тока, с использованием импедансов (Z) вместо сопротивлений (R). Закон Ома (E = IZ) по-прежнему остаётся в силе, как и правила Кирхгофа для напряжения и силы тока.

Чтобы продемонстрировать незыблемость правила Кирхгофа для напряжения (ПНК) в цепи переменного тока, взглянем в таблице на полученные ответы для падений напряжения у отдельных элементов. ПНК утверждает, что алгебраическая сумма падений напряжения на резисторе, катушке индуктивности и конденсаторе должна равняться приложенному напряжению от источника питания.

Хотя на первый взгляд может показаться, что это не так, стоит просто сложить комплексные числа, чтобы убедиться в правоте правила Кирхгофа:

Рис. 11. По внешнему виду алгебраической формы записи чисел и не скажешь, что они при сложении дадут изначальное общее напряжение, но тем не менее это именно так.

Если не обращать внимание на небольшую погрешность при округлении, сумма этих падений напряжения действительно равна 120 вольт. Если выполнить вычисление на калькуляторе (с сохранением всех цифр) ответ будет точно «120 + j0» вольт.

Мы также можем использовать SPICE, чтобы проверить полученные цифры:

Рис. 12. Перенумеруем точки на схеме, чтобы ввести начальные данные в программу SPICE.
r1 1 2 250 
l1 2 3 650m 
c1 3 0 1.5u 
.ac lin 1 60 60 
.print ac v(1,2) v(2,3) v(3,0) i(v1) 
.print ac vp(1,2) vp(2,3) vp(3,0) ip(v1) 
.end

Результат, который выдаст программа:

freq                   v(1,2)                v(2,3)                v(3)                  i(v1) 
6.000E+01       1.943E+01       1.905E+01       1.375E+02       7.773E-02

freq                   vp(1,2)              vp(2,3)             vp(3)                  ip(v1) 
6.000E+01       8.068E+01       1.707E+02       -9.320E+00       -9.932E+01
Рис. 13. Моделирование в SPICE подтверждает наши вычисления.

Как видите, между анализом цепей переменного тока и анализом цепей постоянного тока разница небольшая, разве что, все величины напряжения, тока и сопротивления (фактически, импеданса) должны обрабатываться в комплексной, а не скалярной форме, чтобы учесть фазовые углы.

И это хорошо, поскольку всё, что вы знаете об электрических цепях постоянного тока, применимо к тому, что изучаете сейчас. Правда, есть исключение – расчёт мощности. Там всё настолько по-своему, что заслуживает отдельной главы (но это позже).

Итог

  • В последовательной цепи импедансы складываются: ZВсего = Z1 + Z2 + … + Zn.
  • Хотя последовательные импедансы складываются, общий импеданс для цепи, содержащей как индуктивные, так и ёмкостные элементы, может быть меньше отдельных импедансов. Это потому, что последовательные индуктивные и ёмкостные импедансы имеют тенденцию компенсировать друг друга. Это может привести к тому, что падению напряжения на элементе превысит падение напряжения на источнике питания!
  • Все правила и законы, которые применялись в цепях постоянного тока справедливы и для цепей переменного тока, только все значения должны быть выражены в комплексном виде, а не скалярном. Единственным исключением из этого принципа является расчёт мощности, который для переменного тока сильно отличается от постоянного.

См.также

Внешние ссылки