Русская Википедия:Итерационная формула Герона: различия между версиями
(Новая страница: «{{Русская Википедия/Панель перехода}} {{Нет ссылок|дата=13 мая 2011}}'''Итерацио́нная фо́рмула Геро́на''' имеет вид <center><math>x_{n+1}=\frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ </math>,</center> где ''a'' — фиксированное положительное число, а <math>x_1</math> — любое положительное число....») |
(нет различий)
|
Текущая версия от 22:35, 20 августа 2023
Шаблон:Нет ссылокИтерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид
где a — фиксированное положительное число, а <math>x_1</math> — любое положительное число.
Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе <math>x_1</math> быстро сходится к величине <math>\sqrt{a}</math> (квадратный корень из числа), то есть
Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения <math>a - x^2 = 0</math>.
Пример
Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения <math>\sqrt{25}</math> будет значение 3.
n | <math>x_n</math> | <math>x_{n+1} = \frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ </math> | Приблизительное значение <math>x_{n+1}</math> |
---|---|---|---|
1 | 3 | <math>\frac{1}{2}~\left(3 + \frac{25}{3}\right)\ </math> | <math>\frac{1}{2}~(3 + 8.33) = \frac{1}{2} \cdot 11.33 \approx 5.67 </math> |
2 | 5.67 | <math>\frac{1}{2}~\left(5.67 + \frac{25}{5.67}\right)\ </math> | <math>\frac{1}{2}~(5.67 + 4.41) = \frac{1}{2} \cdot 10.08 = 5.04 </math> |
3 | 5.04 | <math>\frac{1}{2}~\left(5.04 + \frac{25}{5.04}\right)\ </math> | <math>\frac{1}{2}~(5.04 + 4.96) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 </math> |
4 | 5 | <math>\frac{1}{2}~\left(5 + \frac{25}{5}\right)\ </math> | <math>\frac{1}{2}~(5 + 5) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 </math> |
Геометрическая интерпретация
Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x1. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.
Литература
- Ancient Square Roots
- Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures