Русская Википедия:Лагранжиан: различия между версиями
(Новая страница: «{{Русская Википедия/Панель перехода}} {{Другие значения| Метод множителей Лагранжа}} '''Лагранжиа́н''', '''фу́нкция Лагра́нжа''' <math> \mathcal {L} [\varphi_i] </math> динамической системы, является функцией Степени свободы (ме...») |
(нет различий)
|
Текущая версия от 23:24, 24 августа 2023
Шаблон:Другие значения Лагранжиа́н, фу́нкция Лагра́нжа <math> \mathcal {L} [\varphi_i] </math> динамической системы, является функцией обобщённых координат <math> \ \varphi_i (s) </math> и описывает развитие системы. Например, уравнения движения (для классической механики) в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как
- <math> \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0, </math>
где действие — функционал <math> \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns}, </math>
а <math>\varphi_i</math> — обобщённые координаты (например, координаты частиц или полевые переменные),<math>\ s_j </math> обозначает множество параметров системы, в случае классической механики — независимые пространственные координаты и время, а более широком — ещё электрические или другие физические параметры. Названа в честь Жозефа Луи Лагранжа.
Уравнения, полученные посредством приравнивания нулю функциональной производной функционала по всем направлениям, идентичны обычным уравнениям Эйлера – Лагранжа. Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как лагранжевы динамические системы.
Примеров лагранжевых динамических систем много, начиная с классической версии Стандартной модели в физике элементарных частиц и заканчивая уравнениями Ньютона в классической механике (см. Лагранжева механика). Также к этой области относятся чисто математические проблемы, такие как задача нахождения уравнений геодезических и проблема Плато.
Через преобразование Лежандра лагранжиан связан с гамильтонианом (в котором за основу берутся импульсы). На гамильтониане основана гамильтонова формулировка классической механики.
Пример из классической механики
Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.
Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде
- <math>\frac{1}{2}\, m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}),</math>
где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, <math>\vec{x}</math> — радиус-вектор частицы, <math>m</math> — её масса и <math>V</math> — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа будет иметь вид
- <math>m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0,</math>
где <math>\nabla V</math> — градиент.
Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу <math>F</math> в терминах потенциала <math>\vec{F}=- \nabla V(x)</math>, тогда мы получим уравнение <math>\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}</math>, которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению <math>\vec{F}=d\vec{p}/dt</math>, которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.
Для трёхмерной системы со сферическими координатами <math>r</math>, <math>\theta</math>, <math>\varphi</math> с лагранжианом
- <math>\frac{m}{2}\,(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\,\dot{\varphi}^2)-V(r)</math>
можно получить следующие уравнения Эйлера – Лагранжа:
- <math>m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\,\dot{\varphi}^2)+V' =0,</math>
- <math>\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^2=0,</math>
- <math>\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\,\dot{\varphi})=0.</math>
Классический релятивистский лагранжиан свободной частицы
Классический (не квантовый, кроме прочего, игнорирующий спин) лагранжиан свободной частицы в теории относительности совпадает (с точностью до знака) со скоростью роста длины её мировой линии в пространстве Минковского (то есть со скоростью изменения собственного времени), умноженной на массу частицы <math>m</math> и на квадрат скорости света <math>c</math>:
- <math>\mathcal {L} = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2},</math>
где <math>v</math> — обычная трёхмерная скорость частицы.
Из этого лагранжиана следует классическая динамика релятивистских частиц (релятивистская динамика).
Лагранжианы и плотности лагранжианов в теории поля
- В классической и квантовой теории поля делают различие между лагранжианом Шаблон:Math, через который действие выражается как интеграл только по времени
- <math>S = \int{L \, dt},</math>
и плотностью лагранжиана <math>\mathcal{L}</math>, которую нужно интегрировать по всему четырёхмерному (а в некоторых теориях и более многомерному) пространству-времени:
- <math>S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}.</math>
Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана.
- В последнее время плотность лагранжиана <math>\mathcal{L}</math> часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Такое определение терминов, очевидно, альтернативно приведённому в начале параграфа. Нередко также при этом вводят различие между лагранжианом и функцией Лагранжа, понимая под последней интеграл от лагранжиана по пространству.
Оба определения лагранжиана можно получить как специальные случаи общего определения, в зависимости от того, включены пространственные переменные <math>\vec x</math> в индекс <math>i</math> или в параметры <math>s</math> в <math>\varphi_i(s)</math>. Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах <math>\mathcal{L}</math>. Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.
Электромагнитный лагранжиан
В этом разделе речь идёт о чисто классической (не квантовой) электродинамике (квантовоэлектродинамический лагранжиан описан в следующих разделах), в особенности сказанное касается заряженного вещества, с которым взаимодействует электромагнитное поле — то есть и члена взаимодействия, и лагранжиана собственно вещества (лагранжиан же свободного электромагнитного поля в целом один и тот же в классической и квантовой теории).
Электростатика
Электростатика — физика статических (то есть постоянных) электрических полей, которые можно (приближенно или точно) описать скалярным[1] потенциалом, и достаточно медленно движущегося заряженного вещества, подчиняющегося таким образом ньютоновской механике.
В классической механике лагранжиан есть
- <math> \mathcal{L} = T - V ,</math>
где <math>T</math> — кинетическая энергия и <math>V</math> — потенциальная энергия.
Для заряженной частицы массой <math>m</math> и зарядом <math>q</math>, находящейся в электрическом (электростатическом) поле со скалярным потенциалом <math> \varphi\ </math>, кинетическая энергия задаётся выражением
- <math> T_s = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}</math> — для одной частицы (для многих берётся сумма).
Энергия взаимодействия поля с заряженным веществом выглядит как
- <math> V = q\varphi\ </math> для одного точечного заряда (для многих суммируется),
или
- <math> V = \int \rho\varphi\ dx dy dz</math> — в виде для непрерывного распределения заряда.
(Тот и другой вид оказывается полезно выписать отдельно, хотя, конечно, они друг к другу сводятся, если использовать дельта-функцию). Энергия поля входит в член кинетической энергии наряду с кинетической энергией частиц[2], записываясь как:
- <math> T_f = \int {1 \over 2 \varkappa} (\nabla \varphi)^2 dx dy dz,</math>
где <math>\varkappa</math> — «силовая константа», входящая в конечном итоге в закон Кулона.
Таким образом, лагранжиан электростатики, включающий в себя и кинетическую энергию (медленного) движения заряженных частиц, таков:
- <math> \mathcal{L} = T_f - V + T_s,</math>
(каждый член его выписан выше).
- Естественно, этот лагранжиан может быть при необходимости дополнен другими членами, описывающими неэлектрические силы, например, энергией упругости и т. д.
Проварьировав действие с описанным в этом параграфе лагранжианом[3], легко получить уравнение поля для электростатики (уравнение Пуассона):
- <math>\nabla^2 \varphi = - \varkappa \rho</math>
и уравнение движения частицы в электростатическом поле (в целом совпадающее с полученным в примере для классической частицы в начале статьи):
- <math>m \dot{\mathbf v} = - q \nabla \varphi.</math>
Электродинамика
Трёхмерная формулировка
В случае электродинамики приходится пользоваться уже не классической потенциальной энергией, а обобщённой (зависящей и от скоростей) потенциальной энергией (энергией взаимодействия):
- <math> V = q\varphi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}, </math>
или
- <math> V = \int (\rho\varphi - {1 \over c} \mathbf{j} \cdot \mathbf{A}) dx dy dz, </math>
где <math>c</math> — скорость света, <math>v</math> — скорость частицы, Шаблон:Math — вектор плотности тока, Шаблон:Math — векторный потенциал.
Энергия электромагнитного поля также должна включать по сравнению со случаем электростатики ещё и энергию магнитного поля[4]:
- <math> T_f = \int \frac{1}{2\varkappa} (E^2 - H^2) dx dy dz,</math>
где векторы напряжённости электрического поля Шаблон:Math и напряжённости магнитного поля Шаблон:Math следует считать выраженными через скалярный потенциал <math>\varphi</math> и векторный потенциал Шаблон:Math:
- <math>\mathbf E = -\nabla\varphi - {1 \over c} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t},</math>
- <math> \mathbf H = \mathbf{rot} \mathbf A.</math>
Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде
- <math> L = T_f - q\varphi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} + T_s.</math>
или
- <math> L = T_f + \int (-\rho\varphi + \frac{\mathbf j \cdot \mathbf{A}}{c}) dx dy dz + T_s.</math>
Здесь в качестве лагранжиана вещества <math>T_s</math> можно использовать приближённое выражение для медленных частиц, как описано в параграфе об электростатике, а можно использовать (так как для электродинамики, не ограничивающейся медленными движениями, это, вообще говоря, актуально) релятивистский лагранжиан для быстрых частиц
- <math>T_s = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.</math>
Как и в случае электростатики, при необходимости к этому лагранжиану могут быть дописаны дополнительные члены, описывающие неэлектромагнитные силы, другие поля Шаблон:Итд, что, впрочем, выходит за рамки задачи описания электромагнитного лагранжиана. Строго говоря, выписывание кинетической энергии вещества тоже выходит за эти рамки, однако мы выписали его, чтобы описание сохраняло целостность.
При варьировании действия с этим лагранжианом по Шаблон:Math и по <math>A_x, A_y, A_z</math> (независимо по каждому, используя вторую форму записи лагранжиана), получаются уравнения Максвелла, а при варьировании по координатам заряженных частиц — используя первую форму записи — уравнения движения заряженных частиц в поле, сводящемуся к:
- <math>d\mathbf p/d t = \mathbf F_L,</math>
где Шаблон:Math — (трёхмерный) импульс частицы, <math>\mathbf F_L</math> — сила Лоренца (включая электрический член).
Однако проще и короче всего такой вывод получается в четырёхмерной формулировке (см. далее).
Четырёхмерная формулировка
В четырёхмерной формулировке плотность лагранжиана электромагнитного поля, его взаимодействия с заряженным веществом и (для полноты картины) самого вещества выглядит так (при использовании системы единиц Шаблон:Math):
- <math>L = \frac{1}{4\varkappa} F_{ik}F^{ik} + A_i j^i + L_s.</math>
Второй член (описывающий взаимодействие) можно переписать так, что соответствующее действие будет:
- <math>S_{int} = - \int q A_i dx^i.</math>
(Член <math>L_s</math> — обычная плотность лагранжиана быстрой — в общем случае — частицы; явно её можно не выписывать, поскольку для классической теории она не нужна, так как для неё нужен лагранжиан такой частицы, выписанный как обычно — см. выше — а не его плотность).
Здесь <math>F^{ik}</math> — тензор электромагнитного поля (в лагранжиан входит его свёртка — квадрат), <math>A_i</math> — 4-потенциал, <math>j^i</math> — четырёхмерная плотность тока, <math>x^i</math> — 4-координата точки в области, в которой проводится интегрирование; подразумевается правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу.
Варьированием по <math>A_i</math> легко получаются уравнения Максвелла в четырёхмерной форме:
- <math>\partial_i F^{ik} = \varkappa j^k,</math>
а варьированием по <math>x^i</math> — уравнение движения для частицы:
- <math>d p_i/d\tau = q F_{ik}u^k,\, </math>
где <math>p_i = m u_i</math> — 4-импульс, <math>u^k</math> — 4-скорость.
Лагранжиан квантовой теории поля
Лагранжиан квантовой теории поля (КТП) в принципе совпадает с классическим, за исключением случаев, когда для некоторой части полевых переменных затруднительно ввести классические аналоги или корректно проинтерпретировать их; впрочем, и тогда обычно можно, хотя бы чисто формально, получить то, что называется классическими уравнениями движения, использовав вместо той или иной процедуры квантования поля с данным лагранжианом приближение стационарной фазы (стационарного действия) — то есть найдя классическое приближение описания системы.
Таким образом, лагранжианы, выписанные ниже, не являются в определённом смысле специфичными только для квантовой теории соответствующих полей; тем не менее они используются в КТП, представляя в определённом отношении её основу.
Лагранжиан квантовой электродинамики
Плотность лагранжиана для квантовой электродинамики (КЭД):
- <math> \mathcal{L} = \bar \psi (i {D}\!\!\!\!/\ - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu},</math>
где <math> \psi </math> — спинор (четырёхмерный), <math> \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 </math> — его дираковское сопряжение, <math>F^{\mu\nu}</math> — тензор электромагнитного поля, Шаблон:Math — калибровочная ковариантная производная и <math> {D}\!\!\!\!/\ </math> — обозначение Фейнмана для <math>\gamma^\sigma D_\sigma </math>.
Лагранжиан Дирака
Плотность лагранжиана для дираковского поля
- <math> \mathcal{L} = \bar \psi (i {\partial}\!\!\!/\ - m) \psi. </math>
Лагранжиан квантовой хромодинамики
Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики[5]
- <math> \mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n ({D}\!\!\!\!/_\mu\ + m_n) \psi_n, </math>
где <math>D_\mu</math> — калибровочная ковариантная производная КХД и <math>F^\alpha {}_{\mu\nu} </math> — тензор напряжённости глюонного поля.
Необходимое и достаточное условие существования и единственности уравнения Лагранжа
В классической механике необходимым и достаточным условием существования и единственности уравнения Лагранжа является <math>det \left \| \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{j}\partial \dot{q}_{k}} \right \|_{j,k=1}^{n} \neq 0</math>[6].
Ссылки
- Christoph Schiller. Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain (2005)
- David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)
Примечания
Литература
- Исторические публикации
- Курсы теоретической физики
- ↑ Здесь подразумевается, конечно же, скаляр обычного трёхмерного пространства, а не инвариант преобразований Лоренца.
- ↑ Это определяется знаком, который должен получиться в итоге в уравнениях движения и тем, что из определённых соображений энергию поля хочется иметь положительной. Всё это может быть более или менее строго обосновано, но здесь мы ограничимся только что изложенными простыми соображениями.
- ↑ Для получения уравнения поля удобнее использовать лагранжиан взаимодействия, выраженный через <math>\rho</math>, для получения уравнения движения частицы в поле — через положение точечной частицы (через <math>q\varphi</math>).
- ↑ Вопрос о знаках, как это было сделано выше и для электростатического поля, не будем здесь подробно обсуждать, хотя достаточно строгое обоснование и существует, ограничившись опять замечанием, что именно такие знаки дают нужные знаки в итоговых уравнениях.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Айзерман М. А. Классическая механика. - М., Наука, 1980. - с. 165