Русская Википедия:Интеграл Борвейна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Интегралы Борвейна — интегралы, рассмотренные Дэвидом и Джонатаном Борвейнами, в которых задействована функция sinc.

В этих интегралах появляется интересная закономерность, которая в конце исчезает:

<math>

\begin{align} & \int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx=\pi/2 \\[10pt] & \int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \pi/2 \\[10pt] & \int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \pi/2 \end{align} </math> Эта закономерность продолжается до

<math>\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \pi/2 ~.</math>

Но на следующем шаге она нарушается:

<math>

\begin{align} \int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx

&= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}~\pi \\
&= \frac{\pi}{2} - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}~\pi \\
&\simeq \frac{\pi}{2} - 2.31\times 10^{-11}         ~.

\end{align} </math>

В общем случае, такие интегралы равны Шаблон:Дробь2, если сумма обратных к числам Шаблон:Nowrap, где k — число сомножителей, меньше единицы.

В нашем примере Шаблон:Nowrap, но Шаблон:Nowrap

Пример более длинного ряда:

<math>\int\limits_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111} \, dx = \pi/2</math>,

но

<math>\int\limits_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111}\frac{\sin(x/113)}{x/113} \, dx < \pi/2,</math>

как показано в статье Шмида Ханспетера. В этом случае это связано с тем, что Шаблон:Nowrap, но Шаблон:Nowrap.

Джонатан Борвейн, зная, что закономерность нарушается на восьмом элементе, написал в службу поддержки программного пакета Maple заявку о «баге». У разработчика Жака Каретта заняло трое суток понять, что это не ошибка.