Русская Википедия:Интегральное уравнение Вольтерры

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Интегра́льное уравне́ние Вольте́рры (распространено также написание интегральное уравнение Вольтерра́) — специальный тип интегральных уравнений. Предложены итальянским математиком Вито Вольте́ррой, а затем изучались Траяном Лалеску в работе Sur les équations de Volterra, написанной в 1908 году под руководством Эмиля Пикара. В 1911 году Лалеску написал первую книгу об интегральных уравнениях. Уравнения находят применение в демографии, изучении вязко-упругих материалов, в страховой математике через уравнение восстановления.

Данные уравнения делятся на два типа.

Линейное уравнение Вольтерры первого рода:

<math> f(t) = \int_a^t K(t,s)\,x(s)\,ds</math>,

где <math>f</math> — заданная функция, <math>x</math> — неизвестная функция.

Линейное уравнение Вольтерры второго рода:

<math> x(t) = f(t) + \int_a^t K(t,s)x(s)\,ds</math>.

В теории операторов и в теории Фредгольма соответствующие уравнения называются оператором Вольтерры.

Функция <math> K </math> в интеграле часто называется ядром. Такие уравнения могут быть проанализированы и решены с помощью метода Лапласа.

Уравнения с однородным ядром

Первого рода

<math> f(t) = \int_0^t K(t-s)\,x(s)\,ds</math>

Решение основано на преобразовании Лапласа. Производя преобразование Лапласа обеих частей уравнения и обозначая его тильдой:

<math>\tilde f(p)=\tilde K(p)\tilde x(p)</math>

Таким образом,

<math>\tilde x(p)=\frac{\tilde f(p)}{\tilde K(p)}</math>

Если при <math>t\to 0</math> функции <math>K(t),f(t)</math> стремятся к <math>K_0, f_0</math> соответственно, то при больших <math>p</math> функция <math>\tilde x\to f_0/K_0</math>. Это означает наличие <math>\delta</math>-функционного вклада, который следует вынести. Таким образом, решение имеет вид

<math>x(t)=\frac{f_0}{K_0}\delta(t)+\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{dp}{2\pi i}e^{pt}\left(\frac{\tilde f(p)}{\tilde K(t)}-\frac{f_0}{K_0}\right)</math>

Второго рода

<math> f(t) = x(t) + \int_a^t K(t-s)x(s)\,ds</math>

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что

<math>\tilde x(p)=\frac{\tilde f(p)}{1+\tilde K(p)}</math>

Здесь уже случая неопределённости не возникает и

<math>x(t)=\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{dp}{2\pi i}e^{pt}\left(\frac{\tilde f(p)}{1+\tilde K(t)}\right)</math>