Русская Википедия:Интегральное уравнение Гаммерштейна
Материал из Онлайн справочника
Интегральное уравнение Гаммерштейна — нелинейное интегральное уравнение вида: <math>\phi(t)=\int_{a}^{b}K(t,s)\Psi(s, \phi(s))ds+f(t)</math>. Здесь <math>K(t, s), \Psi(s, z), t(t)</math> - известные функции, <math>\phi(t)</math> - искомая функция.Шаблон:Sfn
Теорема существования решения
Уравнение Гаммерштейна <math>\phi(t)=\int_{a}^{b}K(t, s)F(s, \phi(s))ds</math> имеет по крайней мере одно решение, если выполняются следующие условияШаблон:Sfn:
- для линейного интегрального уравнения с ядром <math>K(t, s)</math> справедливы теоремы Фредгольма и итерированное ядро <math>K_{2}(t, s)</math> непрерывно;
- ядро <math>K(t, s)</math> симметрично, то есть <math>K(t, s) = K(s, t)</math>;
- ядро <math>K(t, s)</math> положительно определённое, то есть все его характеристические числа положительны;
- функция <math>K(t, s)</math> удовлетворяет условию <math>\mid K(t, s) \mid \leqslant C_{1} \mid z \mid + C_{2}</math>, где
<math>C_{1}, C_{2}</math> - положительные постоянные, <math>C_{1} < \lambda_{1}</math>, <math>\lambda_{1}</math> - наименьшее характеристическое число ядра <math>K(t, s)</math>;
Теоремы единственности решения
- Уравнение Гаммерштейна <math>\phi(t)=\int_{a}^{b}K(t, s)F(s, \phi(s))ds</math> имеет самое большее одно решение, если для любого фиксированного <math>s \in \left [ a, b \right ]</math> функция <math>F(s, z)</math> является неубывающей функцией <math>z</math>Шаблон:Sfn.
- Уравнение Гаммерштейна <math>\phi(t)=\int_{a}^{b}K(t, s)F(s, \phi(s))ds</math> имеет самое большее одно решение, если функция <math>F(s, z)</math> равномерно удовлетворяет условию Липшица <math>\mid F(s, z_{2}) - F(s, z_{1}) \mid < \alpha \mid z_{2} - z_{1} \mid</math>, где <math>0 < \alpha < \lambda_{1}</math>Шаблон:Sfn
Примечания
Литература
