Русская Википедия:Инъективный объект
Инъективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия инъективного модуля. Двойственное понятие — проективный объект.
Определение
Объект <math>Q</math> категории <math>C</math> называется инъективным, если для любого морфизма <math>f:A\to Q</math> и любого мономорфизма <math>h:A\to B</math> существует морфизм <math>g:B\to Q</math> продолжающий <math>f</math>, то есть <math>g\circ h=f</math>.
Абелев случай
Исходное определение инъективного объекта было дано для абелева случая (и он остаётся наиболее важным). Если <math>C</math> — абелева категория, то её объект <math>Q</math> называется инъективным тогда и только тогда, когда функтор Hom <math>\mathrm{Hom}_C(-,Q)</math> точен.
Достаточно много инъективных объектов
Говорят, что в категории <math>C</math> достаточно много инъективных объектов, если для любого объекта <math>X</math> категории <math>C</math> существует мономорфизм <math>f:X\to Q</math> в инъективный объект <math>Q</math>.
Инъективная оболочка
Мономорфизм <math>g</math> категории <math>C</math> называется существенным, если для любого морфизма <math>f</math> композиция <math>f\circ g</math> является мономорфизмом, только если <math>f</math> является мономорфизмом.
Если <math>f:X\to G</math> — существенный мономорфизм и объект <math>G</math> инъективен, то <math>G</math> называется инъективной оболочкой <math>X</math>. Инъективная оболочка единственна с точностью до неканонического изоморфизма.
Обобщение
Пусть <math>\mathfrak{C}</math> является категорией <math>\mathcal{H}</math> — Класс морфизмов у <math>\mathfrak{C}</math>.
Объект <math>Q</math> категории <math>\mathfrak{C}</math> называется <math>\mathcal{H}</math>-иньективним если для любого морфизма <math>f: \to Q</math> и каждого морфизма <math>h: \to B</math> из класса <math>\mathcal{H}</math> существует морфизм <math>g: B \to Q</math> для которого <math> g \circ h = f</math>.
Если <math>\mathcal{H}</math> является классом мономорфизм то получается определение иньективних модулей.
Категория <math>\mathfrak{C}</math> имеет довольно много <math>\mathcal{H}</math>-иньективних объектов если для каждого объекта X категории <math>\mathfrak{C}</math>, существует <math>\mathcal{H}</math>-морфизм с X в <math>\mathcal{H}</math>-иньективний объект.
Примеры
- В категории абелевых групп инъективные объекты — это делимые группы.
- В категории модулей <math>R-\mathrm{Mod}</math> инъективные объекты — это инъективные модули. В <math>R-\mathrm{Mod}</math> существуют инъективные оболочки, и, как следствие, достаточно много инъективных объектов.
- В категории метрических пространств и коротких отображений инъективные объекты по отношению к экстремальным мономорфизмам — это инъективные метрические пространства.
- Рассматривают также инъективные объекты в более общих категориях, например в категориях функторов или в категориях пучков модулей.
<math>\mathcal{H}</math>-морфизм g в <math>\mathfrak{C}</math> называется <math>\mathcal{H}</math>-существенным если для любого морфизма f, композиция fg принадлежит классу <math>\mathcal{H}</math> только если f принадлежит классу <math>\mathcal{H}</math>.
Если g есть <math>\mathcal{H}</math>-существенным морфизм с X в <math>\mathcal{H}</math>-иньективний объект G, то G называется H-иньективною оболочкой объекта X.
Литература
- Jiri Rosicky. Injectivity and accessible categories.
- Шаблон:Книга
