Русская Википедия:Качающийся факториал
Качающийся факториал (Шаблон:Lang-en) — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел <math>\mathbb{Z}^+</math>. Обозначается <math>n\wr</math>, произносится эн качающийся факториа́л.
Качающийся факториал натурального числа <math>n</math> определяется следующей формулой:
<math>n\wr=\frac{n!}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor!^2}=\frac{\prod_{i=1}^{n}i}{\left\lfloor\prod^{\frac{n}{2}}_{i=1}i\right\rfloor^2}</math>
Данная дробь всегда будет целым числом по простой причине — она кратна биномиальному коэффициенту <math>\binom{n}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}</math>, который равен в точности <math>\frac{n!}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor!\cdot\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil!}</math>.
Из первой формулы можем получить новое определение факториала натурального числа <math>n</math>:
<math>n!=n\wr\lfloor n/2\rfloor!^2</math>
Качающийся факториал назван именно так из-за его графика функции, напоминающий функцию качения.[1]
Разложение на простые множители
Доказательство (предложено здесь)
Последовательность качающегося факториала в OEIS
Последовательность качающегося факториала в Онлайн-Энциклопедии целочисленных последовательностей указана под кодировкой A056040[2].
Ниже приведены первые 10 значений функции качающегося факториала:
| <math>n</math> | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| <math>n\wr</math> | 1 | 1 | 2 | 6 | 6 | 30 | 20 | 140 | 70 | 630 | 252 | 2772 | 924 | 12012 | 3432 | 51480 | 12870 | 218790 | 48620 | 923780 | 124756 | 3879876 | 705432 | 16224936 | 2704156 |
См. также
Список литературы
.png&action=edit&redlink=1){kind=link}
.png){kind=link}