Русская Википедия:Кинематика сплошной среды
Кинематика сплошной среды (от Шаблон:Lang-grc — движение) — раздел кинематики, изучающий движение сплошной среды (модели деформируемого тела, жидкости или газа), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта, относительно которой описывается движение.
Модель сплошной среды
Модель оперирует понятием элементарного объема <math>dV</math>, который мал по сравнению с характерным размером задачи, но в котором много частиц (атомов, молекул, пр.), взаимодействующих друг с другом. Длина свободного пробега (среднее расстояние, которое проходит частица между столкновениями) при этом должна быть много меньше характерного размера <math>dV</math>. Такую модель можно описывать частицами сплошной среды — элементарными объёмами сплошной среды в которых характеристики сплошной среды (множества частиц рассматриваемого объекта) можно считать постоянными.
Лагранжев и эйлеров подходы для описания сплошной среды
Для идентификации частиц сплошной среды, требуется их пронумеровать. Вследствие трёхмерности пространства, используются три переменные <math>(\xi_1,\xi_2,\xi_3)</math>. Такие идентификационные параметры частиц среды называются лагранжевыми (или материальными) координатами. В качестве лагранжевых координат можно выбрать, например, декартовы координаты частиц в некоторый момент времени <math>\tau</math>. Вообще говоря, способ «нумерации» частиц среды может быть произвольным.
Координаты точек среды <math>(x_1,x_2,x_3)</math> в пространственной системе координат называются эйлеровыми (или пространственными) координатами. Решением задачи кинематики сплошной среды является установление координат <math>(x_1,x_2,x_3)</math> материальной частицы <math>(\xi_1,\xi_2,\xi_3)</math> в любой момент времени, то есть нахождении функций <math>x_i=f(t,\xi_j|_{j=1,2,3})\Big|_{i=1,2,3} </math> или же функций <math>\xi_i=g(t,x_j|_{j=1,2,3})\Big|_{i=1,2,3} </math>, сопоставляющих каждой частице её положение во времени.
Любую функцию, описывающую свойства частиц сплошной среды (плотность, температуру, ускорение, и т. д.) можно определять как функцию лагранжевых координат <math>\rho(t,\xi_1,\xi_2,\xi_3)</math> (лагранжев подход), так и функцию эйлеровых координат <math>\rho(t,x_1,x_2,x_3)=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\Delta M(\cdot)}{\Delta V}</math> (эйлеров подход).
Для любой функции в эйлеровых переменных <math>f(t,x_1,x_2,x_3)</math> выполняется
- <math>\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + v_1 \frac{\partial f}{\partial x_1} +
v_2 \frac{\partial f}{\partial x_2} + v_3 \frac{\partial f}{\partial x_3}</math>.
Траекториeй частицы называется геометрическое место ее положений во все моменты времени. Траектория частицы определяется законом движения
Линией тока в момент времени <math>\tau</math> называется кривая, направление касательной которой в каждой точке совпадает в направлением вектора скорости сплошной среды <math>\vec v(t,x_1,x_2,x_3)</math> в этот момент времени. Линии тока определяются из уравнений
- <math>\frac{dx_1}{v_1(\tau,x_i)}=\frac{dx_2}{v_2(\tau,x_i)}=\frac{dx_3}{v_3(\tau,x_i)}\Bigg|_{i=1,2,3}</math>.
Формула Коши-Гельмгольца
Формула Коши-Гельмгольца связывает скорость частиц среды в точке <math>A</math>, находящейся в малой окрестности некоторой точки <math>O(x_1,x_2,x_3)</math>, если известна скорость частиц в точке <math>O</math>.
- <math>\vec v_A = \vec v_O + \hat E\, \vec r + \frac12 (\nabla\times\vec v)\times \vec r </math>
где <math>\hat E = (e_{ij})</math> — тензор скоростей деформаций, а <math>\hat \varepsilon = (e_{ij}\,dt)</math> — тензор малых деформаций, <math>\frac{1}{2}\nabla\times\vec v=\vec\omega</math> — вектор вихря.
Шаблон:Начало скрытого блока Точка <math>A</math> представима как
- <math>A(x_1+\Delta x_1,x_2+\Delta x_2,x_3+\Delta x_3)</math>.
- <math>v_i(t,\vec x_O+\Delta\vec x)-v_i(t,\vec x_O)=\frac{\partial v_i}{\partial x_1}\Delta x_1+\frac{\partial v_i}{\partial x_2}\Delta x_2+\frac{\partial v_i}{\partial x_3}\Delta x_3\Bigg|_{i=1,2,3}</math>, или через оператор набла: <math>\Delta v_i(t,\vec x_O)=\vec r\cdot\nabla v_i\Big|_{i=1,2,3}</math> <math>\left(\vec r = \overrightarrow{OA}\right)</math>.
Перемещение точки <math>A</math> относительно <math>O</math> имеет вид <math>d\vec r = (\vec v_A - \vec v_O)dt</math>, из показанного выше <math>d\vec r = (\vec r\nabla)\vec v\,dt</math> или покоординатно
- <math>dr_i=\sum_{j=1,2,3}\left(\frac{\partial v_i}{\partial r_j}\cdot r_j\right)dt\Bigg|_{i=1,2,3}</math>.
Можно переписать
- <math>dr_i = \sum_j (e_{ij}r_j + f_{ij}r_j)dt</math>
где
- <math>e_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial r_j}+\frac{\partial v_j}{\partial r_i}\right)</math>, а <math>f_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{r_j}-\frac{\partial v_j}{\partial r_i}\right)</math>.
После преобразования
- <math>\sum_j f_{ij}r_j = \left[\frac{1}{2}(\nabla\times\vec v)\times \vec r\right]_i\Bigg|_{i=1,2,3}</math>
Получается формула Коши-Гельмгольца:
- <math>d\vec r = \hat E\, \vec r\,dt + \left(\frac12 (\nabla\times\vec v)\times \vec r\right)dt</math>
Таким образом, <math>d\vec r_A = d\vec r_O + \hat E\, \vec r\,dt + \left(\frac12 (\nabla\times\vec v)\times \vec r\right)dt </math>, или для скоростей: <math>\vec v_A = \vec v_O + \hat E\, \vec r + \frac12 (\nabla\times\vec v)\times \vec r </math>. Шаблон:Конец скрытого блока
Чистая деформация
Cлучай чистой деформации возникает при отсутствии вращательной части движения <math>(\nabla\times \vec v = 0)</math>. В главной системе координат (в соответствующих главных осях) справедливо:
- <math>\hat\varepsilon=\begin{pmatrix}
\varepsilon_1 & 0 & 0\\ 0 & \varepsilon_2 & 0\\ 0 & 0 & \varepsilon_3 \end{pmatrix}</math>
По формуле Коши-Гельмгольца <math>d\vec r = \varepsilon_1 r_1\vec e_1 + \varepsilon_2 r_2\vec e_2 + \varepsilon_3 r_3\vec e_3</math>.
В случае чистой деформации точки малой частицы сплошной среды, лежащие в момент <math>t</math> на сфере радиуса <math>a</math> <math>\left(\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2 = a^2\right)</math> перейдут за <math>dt</math> в эллипсоид, называемый эллипсоидом деформации. Точки частицы сплошной среды, лежащие на главных осях деформации, останутся после деформации на тех же осях, испытая лишь смещение вдоль них.
Длины главных осей эллипсоида описываются <math>e_1,e_2,e_3</math> — корнями <math>a^2=\frac{R^2}{1-2e_1\,dt},\;b^2=\frac{R^2}{1-2e_2\,dt},\;c^2=\frac{R^2}{1-2e_3\,dt}</math>.
Однородная деформация
В том случае, когда <math>\hat E,\;\vec\omega</math>, определяющие чистую деформацию и вращение частицы являются постоянными, деформация называется однородной.
При однородной деформации:
- Точки среды, лежащие на плоскости или на прямой, остаются после деформации соответственно на некоторой плоскости или на прямой;
- Направления главных осей деформации для любой точки среды будут одинаковы;
- Если <math>\hat E</math> в некоторый момент времени одинаков во всех точках среды, то в этот момент и <math>\vec\omega</math> одинаков во всех точках среды.
Условие совместности
В силу определения <math>e_{ij}=e_{ji}</math>, эти тензоры имеют только 6 различающихся компонент. Эти 6 компонент все еще не являются независимыми, так как выражаются через три компоненты скорости <math>(v_1,v_2,v_3)</math>. В силу зависимости они удовлетворяют соотношениям, которые называются условиями совместности Сен-Венана:
- <math>\frac{\partial^2 e_{ij}}{\partial x_k\partial x_l}=
\frac{\partial^2 e_{kl}}{\partial x_i\partial x_j}= \frac{\partial^2 e_{kj}}{\partial x_i\partial x_l}=
\frac{\partial^2 e_{il}}{\partial x_k\partial x_j}
\Bigg|_{i,j,k,l=1,2,3} </math>
Из этих 81 уравнений лишь 6 являются независимыми.
Литература
- Лекции по механике сплошных сред, М. Э. Эглит, Лекция 1, 7-11
- Механика сплошных сред, Л. И. Седов, Том 1, Глава 2
