Русская Википедия:Ковариант Фробениуса
Коварианты Фробениуса квадратной матрицы Шаблон:Mvar — специальные многочлены, а именно проекторы Ai, связанные с собственными значениями и векторами матрицы Шаблон:MvarШаблон:Sfn. Коварианты названы именем немецкого математика Фердинанда Георга Фробениуса.
Каждый ковариант является проектором на собственное пространство, связанное с собственным значением <math>\lambda_i</math>. Коварианты Фробениуса являются коэффициентами формулы Сильвестра, которая выражает матричную функцию <math>f(A)</math> как матричный многочлен.
Формальное определение
Пусть Шаблон:Mvar будет диагонализируемой матрицей с собственными значениями <math>\lambda_1,\dots,\lambda_k</math>.
Ковариант Фробениуса <math>A_i</math> для <math>i = 1,\dots, k</math> — это матрица
- <math> A_i \equiv \prod_{j=1 \atop j \ne i}^k \frac{1}{\lambda_i-\lambda_j} (A - \lambda_j E)~. </math>
По существу, это многочлен Лагранжа с матрицей в качестве аргумента. Если собственное значение <math>\lambda_i</math> простое, то, как матрица проецирования, не меняющая одномерного пространства, <math>A_i</math> имеет единичный след.
Вычисление ковариантов
Коварианты Фробениуса матрицы Шаблон:Mvar могут быть получены из любого спектрального разложения матрицы <math>A=SDS^{-1}</math>, где Шаблон:Mvar не вырождена, а Шаблон:Mvar диагональная матрица с <math>D_{i,i}=\lambda_i</math>. Если Шаблон:Mvar не имеет кратных собственных значений, то пусть <math>c_i</math> будет Шаблон:Mvar-м правым собственным вектором матрицы Шаблон:Mvar, то есть, Шаблон:Mvar-й столбец матрицы Шаблон:Mvar. Пусть <math>r_i</math> будет Шаблон:Mvar-м левым собственным вектором Шаблон:Mvar, а именно Шаблон:Mvar-ая строка <math>S^{-1}</math>. Тогда <math>A_i=c_i r_i</math>.
Если Шаблон:Mvar имеет кратное собственное значение <math>\lambda_i</math>, то <math>A_i=\sum_j{c_j r_j}</math>, где суммирование ведётся по всем строкам и столбцами, связанным с собственным значением <math>\lambda_i</math>Шаблон:Sfn.
Пример
Рассмотрим матрицу 2 на 2
- <math> A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}.</math>
Матрица имеет два собственных значения, 5 и −2. Следовательно, <math>(A-5)(A+2)=0</math>.
Соответствующее собственное разложение есть
- <math> A = \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/7 & 1/7 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}. </math>
Следовательно, коварианты Фробениуса, явственно являющиеся проекторами, есть
- <math> \begin{array}{rl}
A_1 &= c_1 r_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/7 & 1/7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/7 & 3/7 \\ 4/7 & 4/7 \end{bmatrix} = A_1^2\\ A_2 &= c_2 r_2 = \begin{bmatrix} 1/7 \\ -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/7 & -3/7 \\ -4/7 & 3/7 \end{bmatrix}=A_2^2 ~, \end{array} </math> при этом
- <math>A_1 A_2 = 0 , \qquad A_1 + A_2 = E ~.</math>
Заметим, что <math>\mathrm{tr} A_1=\mathrm{tr} A_2=1</math>, что и требуется.
Примечания
Литература
