Русская Википедия:Колебание функции

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Колебание функции на множестве <math>E</math> — точная верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек <math>x_1</math>, <math>x_2</math> <math>\in</math> <math>E</math>.

Колебание функции в точке — это предел колебания функции по базе окрестностей данной точки.

Определение

Величина <math>\omega(f,E)=\sup_{x_1,x_2\in E}|f(x_1)-f(x_2)|</math> называется колебанием функции <math>f:X\to \mathbb R</math> на множестве <math>E\subset X</math>.

Если теперь фиксировать <math>\delta>0</math>, то можно определить колебание функции <math>f</math> на множестве <math>U_{E}^{\delta}(a)</math>; функция <math>\omega(f,a,\delta)=\omega\left(f,U_{E}^{\delta}(a)\right)</math> является невозрастающей функцией при <math>\delta\to+0</math> и ограниченной снизу, поэтому она

• либо имеет конечный предел при <math>\delta\to+0</math>,
• либо для любого <math>\delta>0</math> будет <math>\omega(f,a)=+\infty</math>.

Это определение можно использовать для формулировки Критерия Коши существования предела функции и критерия непрерывности функции в точке.

Связанное определение

Величина <math>\omega(f,a)\colon =\lim_{\delta\to+0}\omega(f,U_{E}^{\delta}(a))</math> называется колебанием функции <math>f</math> в точке <math>a</math>.

Свойства

• Функция <math>f\colon E\to\mathbb{R}</math> непрерывна в точке <math>a\in E</math>, предельной для множества <math>E</math> тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю:

<math>f\in C(\{a\}) \Leftrightarrow \omega(f,a)=0</math>.

• Функция <math>f\colon E\to\mathbb{R}</math> непрерывна на множестве <math>E</math> тогда и только тогда, когда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует элемент <math>B</math> базы <math>\mathbb{B}</math>, колебание на котором будет меньше чем заданное <math>\varepsilon</math>:

<math>f\in C(E) \Leftrightarrow \exists B\in\mathbb{B}\colon\omega(f,B)<\varepsilon</math>.

См. также

• Модуль непрерывности
• Критерий Коши
• Предел вдоль фильтра