Русская Википедия:Коллапс (геометрия)
Коллапс — тип последовательности пространств, обычно римановых многообразий, которая существенно меняет локальную структуру (в частности теряет размерность) при переходе к пределу.
Определение
Существует несколько неэквивалентных определений коллапса.
Через филинг-радиус
Последовательность замкнутых римановых многообразий колапсирует если их филинг-радиусы стремятся к нулю.
Через потерю размерности
Предположим последовательность <math>m</math>-мерных римановых многообразий <math>M_n</math> имеет ограниченную снизу кривизну и сходится к Александровскому пространству <math>A</math> в смысле Громова — Хаусдорфа. Если при этом рамерность <math>A</math> строго меньше <math>m</math>, то говорят, что <math>M_n</math> коллапсирует к <math>A</math>.
При этом разница <math>m-\dim A</math> называется коразмерностью коллапса.
Примеры
- Последовательность плоских торов <math>T_n</math> изометричных произведению окружности длины <math>\tfrac1n</math> и единичной окружности коллапсирует к единичной окружности. В данном случае последовательность <math>T_n</math> сходится к окружности в смысле Громова — Хаусдорфа.
Свойства
- Предположим последовательность односвязных <math>m</math>-мерных римановых многообразий <math>M_n</math> с секционными кривизнами <math>|K(M_n)|\le 1</math> коллапсирует с коразмерностью <math>k</math>. Тогда <math>M_n</math> допускает эффективное действие <math>k</math>-мерного тора для всех больших <math>n</math> с диаметром орбит стремящимся к нулю.
См. также
- Почти плоское многообразие — многообразие, допускающее последовательность римановых метрик ограниченной кривизны, коллапсирующих к точке.
Литература
