Русская Википедия:Кольцо дискретного нормирования
Кольцо дискретного нормирования — это кольцо, которое можно получить в результате дискретного нормирования некоторого поля выбором подмножества элементов с неотрицательной нормой. Такое кольцо можно определить множеством эквивалентных способов.
Кольцо дискретного нормирования — это целостное кольцо R, удовлетворяющее одному из следующих (эквивалентных) условий:
- 1) R — локальная область главных идеалов, не являющаяся полем.
- 2) R — локальное дедекиндово кольцо, не являющееся полем.
- 3) R — нётерово локальное кольцо, размерность Крулля которого равна единице, а единственный максимальный идеал — главный.
- 4) R — целозамкнутое одномерное нётерово локальное кольцо.
- 5) R — область главных идеалов с единственным ненулевым простым идеалом.
- 6) R — факториальное кольцо с единственным неразложимым элементом (с точностью до взятия ассоциированных).
- 7) Существует дискретное нормирование поля частных кольца R, такое что R совпадает со множеством элементов с неотрицательной нормой.
Примеры
- Обозначим <math>\mathbb Z_{(2)}=\{ p/q \;|\; p,q\in \mathbb Z, q\not\vdots \;2 \}.</math> Поле частных этого кольца — всё <math>\mathbb Q.</math> Разложим числитель и знаменатель произвольного рационального <math>r</math> на простые и представим его в виде <math>2^kp/q</math> с нечётными <math>p,q</math>, положим <math>v(r)=k.</math> Тогда <math>\mathbb Z_{(2)}</math> — кольцо дискретного нормирования, соответствующее <math>v</math>. Заметим, что <math>\mathbb Z_{(2)}</math> — локализация дедекиндова кольца <math>\mathbb Z</math> по простому идеалу <math>(2)</math>. Оказывается, что локализация любого дедекиндова кольца по ненулевому простому идеалу — кольцо дискретного нормирования.
- В качестве более геометричного примера возьмём кольцо рациональных функций, знаменатель которых не равен нулю в нуле, то есть функций, которые определены в некоторой окрестности нуля. Такие функции образуют кольцо дискретного нормирования, единственный неприводимый элемент — функция <math>x</math> (с точностью до взятия ассоциированных), а соответствующее нормирование рациональных функций — порядок нуля (возможно, нулевой или отрицательный) этой функции в нуле. Этот пример является стандартным для изучения алгебраической кривой в неособой точке; в данном случае, алгебраическая кривая — вещественная ось.
- Другой важный пример — кольцо формальных степенных рядов; здесь неприводимый элемент — ряд <math>x</math>, а нормирование — степень первого ненулевого коэффициента. Если ограничиться вещественными или комплексными коэффициентами, можно рассмотреть ряды, сходящиеся в некоторой окрестности нуля — это по-прежнему кольцо дискретного нормирования.
- Кольцо p-адических чисел <math>\mathbb Z_p</math>.
Топология
Любое кольцо дискретного нормирования естественным образом является топологическим кольцом, расстояние между элементами x и y задаётся следующим образом:
- <math>|x-y| = 2^{-\nu(x-y)}</math>
(вместо 2 можно взять любое действительное число >1). Интуитивно, элемент мал (близок к нулю), если его норма велика.
Кольцо дискретного нормирования компактно тогда и только тогда, когда оно полно и поле вычетов R/m (m — максимальный идеал) конечно.
Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
- Шаблон:Citation
