Русская Википедия:Конечномерный оператор
Материал из Онлайн справочника
Конечномерный оператор — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, множество значений которого конечномерно.Шаблон:Sfn
Примеры
- Любой линейный оператор, действующий в конечномерном пространстве, является конечномерным.
- Интегральный оператор Фредгольма <math> (A f)(x) = \int_a^b K(x, t) f(t) \, dt, </math> действующий в пространстве <math>L_2[a, b]</math>, с вырожденным ядром <math>K(x, t) = \sum_{i = 1}^N f_i(x) g_i(x)</math> является конечномернымШаблон:Sfn. Действительно, его множество значений состоит из функций вида <math> (A f)(x) = \sum_{i = 1}^N c_i f_i(x) </math>, где <math>c_i = \int_a^b f(t) g_i(t) \, dt </math>. Это конечномерное пространство с базисом <math>\{ f_i \}_{i = 1}^N </math>, если системы функций <math>\{ f_i \}_{i = 1}^N </math> и <math>\{ g_i \}_{i = 1}^N </math> линейно независимы.
- Частичные суммы ряда Фурье <math>P_n f = \sum_{i = 1}^n (f, \varphi_i) \varphi_i</math> по ортогональной системе <math>\{ \varphi_i \}_{i = 1}^{\infty}</math> в гильбертовом пространстве являются конечномерными операторамиШаблон:Sfn.
Вполне непрерывный оператор
Шаблон:Main Обобщением конечномерных операторов являются вполне непрерывные операторы, представляющие собой пределы последовательностей конечномерных операторов, сходящихся по норме. К вполне непрерывным операторам применима альтернатива Фредгольма, дающая развитие методов линейной алгебры для решения операторных уравнений.
Примечания
Литература
