Русская Википедия:Континуум (теория множеств)
Шаблон:Другие значения Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел.[1] Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: <math>\mathfrak{c}</math>. Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным[2] множеством.
Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.
Свойства
- Континуум есть мощность булеана счётного множества.
- Как мощность булеана счётного множества, континуум является бесконечной мощностью[3], превосходящей счётную. В теории множеств с аксиомой выбора континуум, как и любая бесконечная мощность, является алефом, и, при обозначении ординального номера континуума в ряду алефов буквой <math>\zeta</math> (<math>\mathfrak c=\aleph_\zeta</math>), выполняется <math>\zeta>0</math>, то есть <math>\aleph_0<\aleph_1\le\aleph_\zeta=\mathfrak c</math>.
- В ряду бесконечных булеанов <math>\gimel_\xi</math>[4] континуум <math>\mathfrak c=\gimel_1</math>.
- Предположение, что не существует мощностей, промежуточных между счётной и континуумом, называется континуум-гипотезой. В теории множеств с аксиомой выбора она формулируется, как <math>\mathfrak{c} = \aleph_1</math> или <math>\gimel_1 = \aleph_1</math> или <math>\zeta=1</math>, где <math>\zeta</math> — ранее введённый номер континуума в ряду алефов. Обобщённая континуум-гипотеза формулируется, как <math>\gimel_\xi=\aleph_\xi</math> для любого ординала <math>\xi</math>.
- Счётная декартова степень континуума — континуум: <math>\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c</math>, и, следовательно, любая ненулевая конечная[5] декартова степень континуума — так же континуум: <math>(\forall n\in \mathbb N \setminus \left\{0\right\})\mathfrak c^n=\mathfrak c</math>.
- В теории множеств с аксиомой выбора мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых само не более чем континуально, не превосходит континуума, то есть <math>\aleph_{\zeta+1}=\mathfrak c^+</math> регулярен.
- Мощность объединения не более чем счётного семейства не более чем счётных множеств не более чем счётна, то есть сечение[6] класса мощностей (как большого[7] частичного порядка), нижний класс которого есть не более чем счётные мощности, непреодолимо «по Пифагору»[8], то есть в теории множеств с аксиомой выбора <math>\aleph_1</math> регулярен. Как следствие, континуум (как и <math>\aleph_1</math>) недостижим «по Пифагору» от не более чем счётных мощностей — не может быть получен объединением не более чем счётного числа не более чем счётных.
- При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, в теории множеств с аксиомой выбора конфинальность континуума — несчётна.
Происхождение термина
Изначально континуумами были названы более чем одноточечные непрерывные («континуальные») порядки, то есть порядки со связной естественной топологией. В терминах собственно порядка это означает, что любое его сечение является дедекиндовым.
Континуум как целое может как иметь, так и не иметь минимального и максимального элементов, то есть его концы могут быть как «открыты», так и «замкнуты».
Минимальным (то есть содержащимся в любом континууме) континуумом является вещественная прямая (как с открытыми, так и с замкнутыми концами).
Любой порядок может быть пополнен до континуума, из чего следует, что континуумы могут иметь неограниченно большие мощности. В кардинальном ряду они обозначаются <math>\mathfrak c_\xi</math>, где <math>\xi</math> — ординальный номер континуума.
Минимальное пополнение порядка до континуума строится заполнением щелей дополнительными точками, а скачков — отрезками (0, 1) без концов.
В последующем термин «континуум», выйдя за пределы специфических порядковых рассмотрений, в теории множеств (а вслед за ней — и в остальной математике) сузился до собственно вещественной прямой, а «мощность континуума» <math>\mathfrak c=\mathfrak c_0</math>, стала, соответственно, её мощностью. В дальнейшем «континуумом» стали называть уже саму мощность континуума <math>\mathfrak c</math>. В топологии этот термин, напротив, расширился до любой связной компактной хаусдорфовой топологии (связного компакта), безотносительно к тому, имеет ли данная топология порядковое происхождение, при этом некоторые континуумы в старом смысле (например, вещественная прямая с открытыми концами) перестали считаться таковыми из-за потери компактности. В настоящее время использование термина «континуум» в исходном смысле встречается в основном лишь в сравнительно старой литературе.
Примеры
Примеры множеств, имеющих мощность континуум:
- Все точки вещественной прямой <math>(-\infty,+\infty)</math> (множество вещественных чисел <math>\R</math>).
- Все точки отрезка <math>[0, 1]</math>.
- Все точки плоскости <math>\R^2</math> (или <math>n</math>‑мерного пространства <math>\R^n</math>, <math>n\neq0</math>).
- Множество всех иррациональных чисел.
- Множество всех трансцендентных чисел.
- Множество всех подмножеств счётного множества.
- Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
- Множество всех счётных множеств натуральных чисел.
- Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
- Множество всех непрерывных функций <math>\R \to \R</math>.
- Множество всех открытых подмножеств плоскости <math>\R^2</math> (или <math>\R^n</math>).
- Множество всех замкнутых подмножеств плоскости <math>\R^2</math> (или <math>\R^n</math>).
- Множество всех борелевских подмножеств плоскости <math>\R^2</math> (или <math>\R^n</math>).
- Канторово множество
Примечания
- ↑ Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.-Л., Гостехиздат, 1948. — с. 11
- ↑ Математика справочник Куринной Г. Ч.
- ↑ См. бесконечное множество.
- ↑ Ряд бесконечных булеанов определяется, как <math>\gimel_0=\aleph_0</math>; <math>\gimel_{\xi+1}=|\mathcal P(\gimel_\xi)|</math>; <math>\gimel_{\sup u}=\sup_{\xi\in u} \gimel_\xi</math>.
- ↑ См. конечное множество.
- ↑ Разбиение секомого предпорядка на два дизъюнктных класса: верхний и нижний. Любой элемент, меньше либо равный какому-либо из нижнего, сам находится в нижнем, больше либо равный какому-либо из верхнего, сам находится в верхнем. Если какой-либо из классов пуст — сечение несобственное.
- ↑ предполагается использование какого-либо способа разрешения формальных сложностей, связанных с большими объектами: теории с классами, погружение в универсальное множество и т. п.
- ↑ Сам сказал: единица порождает существование, двоица — неопределённое множество.
