Русская Википедия:Конус (топология)
Конус в топологии — топологическое пространство, получающееся из исходного пространства <math>X</math> стягиванием подпространства <math>X \times \{0\}</math> его цилиндра (<math>X \times [0, 1]</math>) в одну точку, то есть, факторпространство <math>(X \times [0, 1])/(X \times \{0\})</math>. Конус над пространством <math>X</math> обозначается <math>\mathrm CX</math>.
Если <math>X</math> — компактное подмножество евклидова пространства, то конус над <math>X</math> гомеоморфен объединению отрезков из <math>X</math> в выделенную точку пространства, то есть, определение топологического конуса согласуется с определением конуса геометрического. Однако топологический конус является более общей конструкцией.
Примеры
Конус над точкой <math>p</math> вещественной прямой — это интервал <math>\{p\} \times [0,1]</math>, конус над интервалом вещественной прямой — заполненный треугольник (2-симплекс), конус над многоугольником <math>P</math> — это пирамида с основанием <math>P</math>. Конус над кругом — это классический конус (с внутренностью); конус над окружностью — боковая поверхность классического конуса:
- <math>\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \wedge 0\leqslant z\leqslant 1\}</math>,
гомеоморфная кругу.
В общем случае конус над гиперсферой гомеоморфен замкнутому <math>(n+1)</math>-мерному шару. Конус над <math>n</math>-симплексом — <math>(n+1)</math>-симплекс.
Свойства
Конус <math>\mathrm CX</math> может быть сконструирован как цилиндр постоянного отображения <math>X \to \{0\}</math> Шаблон:Sfn.
Все конусы являются линейно связными, поскольку любую точку можно соединить с вершиной. Более того, любой конус является стягиваемым к вершине с помощью гомотопии, задаваемой формулой <math>h_t(x, s) = (x, (1-t)s)</math>.
Если <math>X</math> является компактным и хаусдорфовым, то конус <math>\mathrm CX</math> можно представить как пространство отрезков, соединяющих каждую точку <math>X</math> с единственной точкой; если <math>X</math> не является компактным или хаусдорфовым, то это не так, поскольку в общем случае топология на факторпространстве <math>\mathrm CX</math> будет тоньше, чем множество отрезков, соединяющих <math>X</math> с точкой.
В алгебраической топологии конусы широко применяются благодаря тому, что представляют пространства как вложения в стягиваемое пространство; в этой связи также важен следующий результат: пространство <math>X</math> стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом своего конуса.
Конический функтор
Отображение <math>X\mapsto \mathrm C X</math> порождает конический функтор — эндофунктор <math>\mathrm C:\mathbf{Top} \to \mathbf {Top}</math> над категорией топологических пространств <math>\mathbf {Top}</math>.
Приведённый конус
Приведённый конус — конструкция над Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn <math>(X,x_0)</math>:
- <math>\mathrm C (X, x_0) = \big( X\times [0,1] \big) / \big( (X\times \left\{0\right\}) \cup (\left\{x_0\right\}\times [0,1]) \big)</math>.
Естественное вложение <math>x \mapsto (x,1)</math> позволяет рассмотреть всякое пунктированное пространство как замкнутое подмножество своего приведённого конусаШаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
