Русская Википедия:Краевая задача
Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Линейные уравнения n-го порядка
Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид
- <math>L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,</math>
где
- <math>L(y) = \sum_{\nu = 0}^{n} f_{\nu}(x) y^{(\nu)},</math>
функции <math>f(x)</math> и <math>f_{\nu}(x)</math> непрерывны на отрезке <math>a \le x \le b</math>, <math>f_n(x) \ne 0</math>, краевые условия заданы линейными формами
- <math> U_{\mu}(y) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \left[ \alpha_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(a) + \beta_{\mu}^{(k)} y^{(k)}(b) \right], \quad \mu = 1, 2, \dots, m,</math>
<math>\gamma_{\mu}</math> — заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов <math>\alpha_{\mu}, \beta_{\mu}</math> имеет ранг <math>m</math>, при этом краевые условия линейно независимы. Если <math>\gamma_{\mu} = 0</math> и <math>f(x) \equiv 0</math>, краевая задача называется однородной, если только <math>\gamma_{\mu} = 0</math> — полуоднородной.Шаблон:Sfn
Задача на собственные значения
Собственными значениями называются те значения параметра <math>\lambda</math>, при которых однородная краевая задача
- <math> L(y) + \lambda g(x) y = 0, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, m,</math>
имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.
Если <math> \varphi_1(x, \lambda), \varphi_2(x, \lambda), \dots, \varphi_n(x, \lambda) </math> — фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что
- <math> \varphi_p^{(q)}(a, \lambda) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad q = p - 1, \\ 0, \quad q \ne p - 1.\end{array} \right. \quad p = 1, 2, \dots, n, \quad q = 0, \dots, n - 1,</math>
то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)
- <math> \Delta(\lambda) = \det [U_{\mu}(\varphi_{\nu})] </math>. Если <math>\Delta(\lambda) \not \equiv 0</math>, то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.Шаблон:Sfn
Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:
- Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
- Задача о разложении по собственным функциям. Если <math>u_{\nu}(x)</math> — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция <math>F(x)</math> может быть разложена в сходящийся ряд
- <math>F(x) = \sum c_{\nu} u_{\nu}(x)</math>
по функциям <math>u_{\nu}(x)</math>?Шаблон:SfnШаблон:Sfn
Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:
- <math>\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right]-q(x)y + \lambda \rho(x) y = 0</math>
- <math>\begin{array}{l}
\alpha _1 y'(a) + \beta _1 y(a) = 0,\qquad \alpha^2_1+\beta^2_1 \ne 0; \\ \alpha _2 y'(b) + \beta _2 y(b) = 0,\qquad \alpha^2_2+\beta^2_2 \ne 0; \\ \end{array}</math>
Функция Грина
Шаблон:Рамка Теорема 1. Если однородная краевая задача <math> L(y) = 0, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n</math> имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции <math>f(x)</math>, непрерывной на отрезке <math>[a, b]</math>, существует решение полуоднородной краевой задачи <math> L(y) = f, \, U_{\mu}(y) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n</math>, задаваемое формулой
- <math> y(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi, </math>
где <math>G(x, \xi)</math> — функция Грина однородной краевой задачи.Шаблон:Sfn Шаблон:Конец рамки
С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из <math>n</math> раз непрерывно дифференцируемых на отрезке <math>[a, b]</math> функций <math>y</math>, удовлетворяющих краевым условиям <math>U_{\mu}(y) = 0</math>, и действующий по правилу <math>L(y)</math>. При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром <math>G(x, \xi)</math>.
Функция Грина <math>G(x, \xi)</math> однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:
- <math>G(x, \xi)</math> непрерывна и имеет непрерывные производные по <math>x</math> до <math>(n-2)</math>-го порядка включительно для всех значений <math>x</math> и <math>\xi</math> из интервала <math>[a, b]</math>.
- При любом фиксированном <math>\xi</math> из отрезка <math>[a, b]</math> функция <math>G(x, \xi)</math> имеет непрерывные производные <math>(n-1)</math>-го и <math>n</math>-го порядка по <math>x</math> в каждом из интервалов <math>[a, \xi)</math> и <math>(\xi, b]</math>, причем производная <math>(n-1)</math>-го порядка имеет при <math>x = \xi</math> скачок <math>\frac{1}{f_n(x)}</math>.
- В каждом из интервалов <math>[a, \xi)</math> и <math>(\xi, b]</math> функция <math>G(x, \xi)</math>, рассматриваемая как функция от <math>x</math>, удовлетворяет уравнению <math>L(G) = 0</math> и краевым условиям <math>U_{\mu}(G) = 0, \, \mu = 1, 2, \dots, n</math>.
Шаблон:Рамка Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.Шаблон:Sfn Шаблон:Конец рамки
С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу
- <math> L(y) = f(x), \quad U_{\mu}(y) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.</math>
Решение имеет вид
- <math> y = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d\xi + \sum_{k = 1}^n \gamma_k \psi_k(x), </math>
где <math>\psi_k(x)</math> — решения краевых задач
- <math> L(y) = 0, \quad U_k(y) = 1, \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu \ne k, \quad \mu = 1, 2, \dots, n.</math>Шаблон:Sfn
Краевая задача с параметром
- <math> L(y) = \lambda y + f(x), \quad U_{\mu}(y) = 0, \quad \mu = 1, 2, \dots, n, </math>
эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:
- <math> y(x) = \lambda \int_a^b G(x, \xi) y(\xi) d\xi + g(x),</math>
где
- <math> g(x) = \int_a^b G(x, \xi) f(\xi) d \xi. </math>
Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра <math>G(x, \xi)</math>.Шаблон:Sfn
Системы линейных дифференциальных уравнений
Краевая задача состоит в отыскании системы функций <math>u_1(x), u_2(x), \dots, u_n(x)</math>, удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений
- <math> u'_{\mu} = \sum_{\nu = 1}^m f_{\mu, \nu}(x) u_{\nu} + f_{\mu}(x), \quad \mu = 1, 2, \dots, m,</math>
- <math> U_{\mu}(u) = \gamma_{\mu}, \quad \mu = 1, 2, \dots, n, </math>
где <math> f_{\mu}, f_{\mu, \nu} </math> — функции, непрерывные на отрезке <math> a \le x \le b</math>,
- <math> U_{\mu}(u) = \sum_{k = 1}^n \left[ \alpha_{\mu, k} u_k(a) + \beta_{\mu, k} u_k(b)\right], </math>
матрица
- <math> (\alpha, \beta) =
\left( \begin{array}{llllll} \alpha_{1,1} & \dots & \alpha_{1,n} & \beta_{1, 1} & \dots & \beta_{1, n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \alpha_{n,1} & \dots & \alpha_{n,n} & \beta_{n, 1} & \dots & \beta_{n, n} \\ \end{array}\right) </math> имеет ранг <math>n</math>, <math>\gamma_{\mu}</math> — заданные числа.Шаблон:Sfn
Численные методы решения
Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.
- Метод стрельбы (пристрелки). Решается задача Коши, у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия. Для подбора параметра можно использовать, например, метод бисекции или метод Ньютона.Шаблон:Sfn
- Метод параллельной стрельбы. Является обобщением метода стрельбы.
- Метод конечных разностей. Строится конечно-разностная аппроксимация уравнения и краевых условий и решается система линейных алгебраических уравнений.Шаблон:SfnШаблон:Sfn
- Вариационные методы (метод Ритца, метод Галёркина).Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn
- Метод интегральных уравнений. Краевая задача при помощи функции Грина заменяется интегральным уравнением, которое решается с помощью квадратурных формул. Шаблон:Sfn
- Метод суперпозиции. Решение краевой задачи находится как линейная комбинация решений нескольких задач Коши.Шаблон:Sfn
- Метод прогонки (не путать с методом прогонки для решения трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений). Решение краевой задачи
- <math> y = p(x) y + q(x), \quad y'(a) = \alpha_0 y(a) + \alpha_1, \quad y'(b) = \beta_0 y(b) + \beta_1 </math>
удовлетворяет дифференциальному уравнению
- <math>y'(x) = \alpha_0(x) y(x) + \alpha_1(x) \quad (*)</math>,
где функции <math>\alpha_0(x), \alpha_1(x)</math> находятся как решения задачи Коши
- <math>\alpha'_0(x) + \alpha_0^2(x) = p(x), \quad \alpha_0(a) = \alpha_0,</math>
- <math> \alpha'_1(x) + \alpha_0(x) \alpha_1(x) = q(x), \quad \alpha_1(a) = \alpha_1.</math>
Затем <math>y(x)</math> находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию <math>y'(b) = \alpha_0(b) y(b) + \alpha_1(b)</math>.Шаблон:SfnШаблон:Sfn
Применение
Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.Шаблон:Sfn Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.Шаблон:Sfn
Уравнения в частных производных
Обозначения
Пусть <math>G</math> — ограниченная область в <math>\mathbb{R}^n</math> с кусочно-гладкой границей <math>S</math>, <math>n</math> — вектор нормали к границе <math>S</math>, направленный во вне области <math>G</math>, <math>\frac{\partial u}{\partial n}</math> — производная по направлению нормали, <math>Q_{\infty} = G \times (0, \infty)</math>. Функции <math>p, q, \alpha, \beta, \rho</math> удовлетворяют условиям:
- <math> p \in C^1(\bar G), \quad q \in C(\bar G), \quad p(x) > 0, \quad q(x) \ge 0, \quad x \in G,</math>
- <math> \alpha \in C(S), \quad \beta \in C(S), \quad \alpha(x) \ge 0, \quad \beta(x) \ge 0, \quad \alpha(x) + \beta(x) > 0, \quad x \in S,</math>
- <math> \rho \in C(\bar G), \quad \rho(x) > 0, \quad x \in \bar G.</math>
Здесь <math>\bar G = G \cup S</math> — замыкание области <math>G</math>, <math>C(\bar G)</math> — множество функций, непрерывных в <math>\bar G</math>, <math>C^k(\bar G)</math> — множество функций, <math>k</math> раз непрерывно дифференцируемых в <math>\bar G</math>.
Уравнения гиперболического типа
Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции <math>u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty})</math>, удовлетворяющей уравнению
- <math> \rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - q u + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},</math>
начальным условиям
- <math> u_{|t = 0} = u_0(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}_{|t = 0} = u_1(x), \quad x \in \bar G,</math>
и граничному условию
- <math>\alpha u + \beta \frac{\partial u}{\partial n} |_{S} = 0. </math>
Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости
- <math> F \in C(Q_\infty), \quad u_0 \in C^1(\bar G), \quad u_1 \in C(\bar G) </math>
и условие согласованности
- <math> \alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n} = 0</math>.
Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от <math>u_0, u_1, F</math>.Шаблон:Sfn
Уравнения параболического типа
Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции <math>u(x, t) \in C^2(Q_{\infty}) \cap C^1(\bar Q_{\infty}), \, \mbox{grad}_x\, u \in C(\bar Q_{\infty})</math>, удовлетворяющей уравнению
- <math> \rho \frac{\partial u}{\partial t} = \mbox{div} \, (p \, \mbox{grad} \, u) - q u + F(x, t), \quad (x, t) \in Q_{\infty},</math>
начальному условию
- <math> u_{t = 0} = u_0(x), \quad x \in \bar G, </math>
и граничному условию
- <math> \alpha u_0 + \beta \frac{\partial u}{\partial n} = v(x, t), \quad (x, t) \in S \times [0, \infty). </math>
Для существования решения необходимы следующие условия гладкости
- <math> F \in C(Q_{\infty}, \quad u_0 \in C(\bar G), \quad v \in C(S \times [0, \infty)),</math>
и условие согласованности
- <math> \alpha u_0 + \beta \frac{\partial u_0}{\partial n}|_S = v(x, 0).</math>
Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от <math>F, u_0, v</math>.Шаблон:Sfn
Уравнения эллиптического типа
Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа
- <math>\Delta u = 0</math>.
Пусть область <math>G \in \mathbb{R}^3</math> такова, что <math> G_1 = \mathbb{R}^3 \backslash G</math>.
- Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области <math>G</math> функцию <math>u \in C(\bar G)</math>, принимающую на границе <math>S</math> заданные (непрерывные) значения <math>u_0^-</math>.
- Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области <math>G_1</math> функцию <math>u \in C(\bar G_1)</math>, принимающую на <math>S</math> заданные (непрерывные) значения <math>u_0^+</math> и обращающуюся в нуль на бесконечности.
- Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области <math>G</math> функцию <math>u \in C(\bar G)</math>, имеющую на <math>S</math> заданную (непрерывную) правильную нормальную производную <math>u_1^-</math>.
- Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области <math>G_1</math> функцию <math>u \in C(\bar G_1)</math>, имеющую на <math>S</math> заданную (непрерывную) правильную нормальную производную <math>u_1^+</math> и обращающуюся в нуль на бесконечности.
Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона:
- <math>\Delta u = - f</math>.
Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.Шаблон:Sfn
Методы решения
- Метод разделения переменныхШаблон:SfnШаблон:Sfn
- Метод распространяющихся волн (для уравнений гиперболического типа)Шаблон:Sfn
- Метод функции Грина (для уравнений эллиптического типа)Шаблон:Sfn
- Разностные методы.Шаблон:Sfn
- Вариационные методы.Шаблон:Sfn
- Метод конечных элементов.
См. также
- Задача Коши
- Начальные и граничные условия
- Задача Штурма-Лиувилля
- Функция Грина
- Волновое уравнение
- Гиперболическое уравнение
- Параболическое уравнение
- Эллиптическое уравнение
- Задача Дирихле
- Задача Неймана
Примечания
Литература
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнения в частных производных
Численные методы
