Русская Википедия:Критерий Краскела — Уоллиса
Критерий Краскела — Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона — Манна — Уитни. Критерий Краскела — Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
Известен также под названиями: H-критерий Краскела — Уоллиса, однофакторный дисперсионный анализ Краскела — Уоллиса (Шаблон:Lang-en), тест Крускала — Уоллиса (Шаблон:Lang-en). Назван в честь американских математиков Уильяма Краскела и Аллена Уоллиса.
Примеры задач
Проходит чемпионат мира по футболу. Первая выборка — опрос болельщиков с вопросом «Каковы шансы на победу сборной России?» до начала чемпионата. Вторая выборка — после первой игры, третья — после второго матча и т. д. Значения в выборках — шансы России на победу по десятибалльной шкале (1 — «никаких перспектив», 10 — «отвезти в Россию кубок — дело времени»). Требуется проверить, зависят ли результаты опросов от хода чемпионата.
Описание критерия
Заданы <math>k</math> выборок:
- <math>x_1^{n_1}=\{x_{11},\;\ldots,\;x_{1n_1}\},\;\ldots,\;x_k^{n_k}=\{x_{k1},\;\ldots,\;x_{kn_k}\}</math>.
Объединённая выборка будет иметь вид:
- <math>x=x_1^{n_1}\cup x_2^{n_2}\cup\ldots\cup x_k^{n_k}.</math>
Дополнительные предположения:
- все выборки простые, объединённая выборка независима;
- выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений <math>F_1(x),\;\ldots,\;F_k(x)</math>.
Проверяется нулевая гипотеза <math>H_0\colon F_1(x)=\ldots=F_k(x)</math> при альтернативе <math>H_1\colon F_1(x)=F_2(x-\Delta_1)=\ldots=F_k(x-\Delta_{k-1})</math>.
Упорядочим все <math>N=\sum_{i=1}^k n_i</math> элементов выборок по возрастанию и обозначим <math>R_{ij}</math> ранг <math>j</math>-го элемента <math>i</math>-й выборки в полученном вариационном ряду.
Статистика критерия Краскела — Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения двух сравниваемых выборок имеет вид:
- <math>H=\sum_{i=1}^k\left(1-\frac{n_i}{N}\right)\left\{\frac{\bar{R}_i-\dfrac{N+1}{2}}{\sqrt{\dfrac{(N-n_i)(N+1)}{12n_i}}}\right\}^2 = \frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k n_i \left(\bar{R}_i-\frac{N+1}{2}\right)^2 =</math>
- <math> =\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k\frac{R_i^2}{n_i}-3(N+1)</math>,
где
- <math>R_i=\sum_{j=1}^{n_i} R_{ij}</math>;
- <math>\bar{R}_i=\frac{1}{n_i}R_i</math>.
Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости <math>\alpha</math>, если <math>H\geqslant H_\alpha</math>, где <math>H_\alpha</math> — критическое значение, при <math>k\leqslant 5</math> и <math>n_i\leqslant 8</math> вычисляемое по таблицам. При бо́льших значениях применимы различные аппроксимации.
Аппроксимация Краскела — Уоллиса
Пусть
- <math>M=\frac{N^3-\displaystyle{\sum_{i=1}^k n_i^3}}{N(N+1)}</math>;
- <math>\nu_1=(k-1)\frac{(k-1)(M-k+1)-V}{\dfrac{1}{2}MV}</math>;
- <math>\nu_2=\frac{M-k+1}{k-1}\nu_1</math>;
- <math>V=2(k-1)-\frac{2\left\{3k^2-6k+N(2k^2-6k+1)\right\}}{5N(N+1)}-\frac{6}{5}\sum_{i=1}^k\frac{1}{n_i}</math>.
Тогда статистика <math>F=\frac{H(M-k+1)}{(k-1)(M-H)}</math> будет иметь при отсутствии сдвига <math>F</math>-распределение с <math>\nu_1</math> и <math>\nu_2</math> степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости <math>\alpha</math>, если <math>F>F_{\alpha}(\nu_1,\;\nu_2)</math>.
Аппроксимация Имана — Давенпорта
В соответствии с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью <math>\alpha</math>, если <math>J\geqslant J_\alpha</math>, где <math>J=\frac{H}{2}\left(1+\frac{N-k}{N-1-H}\right)</math>; <math>J_\alpha=\left\{(k-1)F_\alpha(k-1;\;N-k)+\chi_\alpha^2(k-1)\right\}</math>, <math>F_\alpha(f_1;\;f_2)</math> и <math>\chi_\alpha^2(a)</math> — соответственно критические значения статистик Фишера и хи-квадрат с соответствующими степенями свободы.
Это более точная аппроксимация, чем аппроксимация Краскела — Уоллиса. При наличии связанных рангов (то есть когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваиваются одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику <math>H^*=H\left\{1-\left(\sum_{j=1}^q \frac{T_j}{N^3-N} \right) \right\} ^{-1}</math>, где <math>T_j=t_j^3-t_j</math>; <math>t_j</math> — размер <math>j</math>-й группы одинаковых элементов; <math>q</math> — количество групп одинаковых элементов. При <math>n_i\geqslant 20</math> справедлива аппроксимация распределения статистики <math>H</math>; <math>\chi^2</math>-распределением с <math>f=k-1</math> степенями свободы, то есть нулевая гипотеза отклоняется, если <math>H\geqslant\chi_\alpha^2(k-1)</math>.
См. также
Литература
- Kruskal W. H., Wallis W. A. Use of ranks in one-criterion variance analysis. // Journal of the American Statistical Association. — 1952, 47 № 260. — pp. 583—621.
- Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики. — М.: Финансы и статистика, 1985.
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 466—468 с.
Ссылки
