Русская Википедия:Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.
Условие устойчивости
Передаточная функция динамической системы <math>\ T(s)</math> может быть представлена в виде дроби
- <math>\ T(s) = \frac{N(s)}{D(s)}</math>.
Устойчивость <math>\ T(s)</math> достигается тогда, когда все её полюсы находятся в левой полуплоскости <math>\ s</math>. В правой полуплоскости их быть не должно. Если <math>\ T(s)</math> получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией <math>\ F(s) = \frac{A(s)}{B(s)}</math>, тогда полюсы передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции <math>\ 1 + F(s)</math>. Выражение <math>\ 1 + F(s) = 0</math> называется характеристическим уравнением системы.
Принцип аргумента Коши
Из теории функций комплексного переменного известно, что контур <math> \Gamma_s\ </math>, охватывающий на <math>\ s</math>-плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость <math>\ F(s)</math>) при помощи функции <math>\ F(s)</math> таким образом, что получившийся контур <math> \Gamma_{F(s)}\ </math> будет охватывать центр <math>\ F(S)</math>-плоскости <math>\ n</math> раз, причём <math>\ n = z - p</math>, где <math>\ z</math> — число нулей, а <math>\ p</math> — число полюсов функции <math>\ F(s)</math>. Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура <math> \Gamma_s\ </math>, а отрицательным — противоположное ему.
Формулировка критерия
Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:
- участок, идущий вверх по оси <math>\ j\omega\ </math>, от <math>0 - j\infty</math> до <math>0 + j\infty</math>.
- полуокружность радиусом <math>r \to \infty</math>, начинающаяся в точке <math>0 + j\infty</math> и достигающая конца в точке <math>0 - j\infty</math> по часовой стрелке.
Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы <math>\ F(s)</math>, в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции <math>\ F(s)</math> минус количество полюсов <math>\ F(s)</math> в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку <math>\ -1 + j0</math>, получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции <math>\ 1+F(s)</math>. Заметив, что функция <math>\ 1+F(s)</math> имеет такие же полюса, что и функция <math>\ F(s)</math>, а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова: Шаблон:Начало цитаты Пусть <math> \Gamma_s\ </math> — замкнутый контур в комплексной плоскости, <math>\ p</math> — число полюсов <math>\ F(s)</math>, охваченных контуром <math> \Gamma_s\ </math>, а <math>\ z</math> — число нулей <math>\ F(s)</math>, охваченных <math> \Gamma_s\ </math> — то есть число полюсов <math>\ T(s)</math>, охваченных <math> \Gamma_s\ </math>. Получившийся контур в <math>\ F(s)</math>-плоскости, <math> \Gamma_{F(s)}\ </math> должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку <math>\ -1 + j0</math> <math>\ n</math> раз, где <math>\ n = z - p</math>. Шаблон:Конец цитаты
В русскоязычной литературе, в основном, изданной в СССР, встречается иная формулировка критерия, называемого в этом случае критерием Михайлова (критерий устойчивости был предложен советским ученым А. В. Михайловым в 1936 году[1]): Шаблон:Начало цитаты Система порядка <math>\ n</math> устойчива, если ее частотный годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости и вращаясь против часовой стрелки, последовательно проходит <math>\ n</math> координатных квадрантов, нигде не обращаясь в 0. Шаблон:Конец цитаты
Следствия критерия Найквиста — Михайлова:
- Если разомкнутая система с передаточной функцией <math>\ F(s)</math> устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).
- Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов <math>\ F(s)</math> вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов <math>\ F(s)</math> в правой полуплоскости.
- Количество дополнительных охватов (больше, чем <math>\ n + p </math>) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.
См. также
- Критерий устойчивости Рауса
- Критерий устойчивости Гурвица
- Критерий устойчивости в пространстве состояний
- ЛАФЧХ
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Nyquist, H. 1932. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126—147.
- Шаблон:Книга
