Русская Википедия:Критерий устойчивости Рауса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Крите́рий усто́йчивости Ра́уса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса — Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости (в отличие от частотных критериев — таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова). Предложен Э. Дж. Раусом в 1875 г.Шаблон:Sfn

Несмотря на то, что критерий Рауса исторически предложен ранее критерия Гурвица, его можно использовать как более удобную схему расчёта определителей Гурвица, особенно при больши́х степенях характеристического полиномаШаблон:Sfn.

К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ с помощью рекурсивного алгоритма, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности метода: при его применении сложно получить информацию о степени устойчивости, о её запасах.

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть <math> W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)} </math> — передаточная функция системы, а <math> \ U(s) = 0</math> — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином <math> \ U(s) </math> в виде

<math> \ U(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + ... + a_n</math>

Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которую коэффициенты характеристического полинома записывают таким образом, что:

1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания;
2. во второй строке — с нечётными;
3. остальные элементы таблицы определяются по формуле: <math> \ c_{k,i} = c_{k+1,i-2} - r_i \cdot c_{k+1,i-1} </math>, где <math> r_i = \frac{c_{1,i-2}} {c_{1,i-1}}, i \ge 3</math> — номер строки, <math> \ k </math> — номер столбца;
4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Таблица Рауса:

<math> \ ri </math>	<math> \Downarrow i \Longrightarrow k </math>	1	2	3	4
-	1	<math> \ c_{1,1} = a_0 </math>	<math> \ c_{2,1} = a_2 </math>	<math> \ c_{3,1} = a_4 </math>	...
-	2	<math> \ c_{1,2} = a_1 </math>	<math> \ c_{2,2} = a_3 </math>	<math> \ c_{3,2} = a_5 </math>	...
<math> r_3 = \frac{c_{1,1}} {c_{1,2}}</math>	3	<math> c_{1,3} = c_{2,1} - r_3 \cdot c_{2,2}</math>	<math> c_{2,3} = c_{3,1} - r_3 \cdot c_{3,2}</math>	<math> c_{3,3} = c_{4,1} - r_3 \cdot c_{4,2}</math>	...
<math> r_4 = \frac{c_{1,2}} {c_{1,3}}</math>	4	<math> c_{1,4} = c_{2,2} - r_4 \cdot c_{2,3}</math>	<math> c_{2,4} = c_{3,2} - r_4 \cdot c_{3,3}</math>	<math> c_{3,4} = c_{4,2} - r_4 \cdot c_{4,3}</math>	...
...	...	...	...	...	...

Формулировка критерия Рауса: Шаблон:Начало цитаты Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса <math> \ c_{1,1}, c_{1,2}, c_{1,3}, ... </math> были одного знака. Если это не выполняется, то система неустойчива. Шаблон:Конец цитаты

См. также

• Критерий устойчивости Гурвица
• Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
• Теорема Рауса — Гурвица
• Теорема Эрмита — Билера
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга.