Русская Википедия:Лемма Гаусса о геодезических
Шаблон:Дзт Ле́мма Га́усса о геодези́ческих утверждает, что любая достаточно малая сфера с центром в точке риманова многообразия перпендикулярна каждой геодезической, проходящей через эту точку.
Лемма используется в доказательстве того, что геодезические являются локально кратчайшими кривыми, также она имеет фундаментальное значение при изучении геодезической выпуклости и нормальных координат.
Формулировка
Пусть <math>T_p</math> обозначает касательное пространство в точке <math>p</math> риманова многообразия <math>(M,g)</math> и <math>\exp_p\colon T_p\to M</math> — экспоненциальное отображение.
Заметим, что для любого вектора <math>x\in T_p</math> касательное пространство к касательному пространству <math>T_xT_p</math> можно отождествить с самим касательным пространством <math>T_p</math>.
Для любых <math>x, v\in T_p</math>
- <math>g((d_x\exp_p)(v),(d_x\exp_p)(x))=\langle v, x\rangle,</math>
где <math>d_x\exp_p\colon T_p=T_xT_p\to T_{\exp_px} </math> обозначает дифференциал экспоненциального отображения.
Ссылки
