Русская Википедия:Лемма Гронуолла — Беллмана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.

Формулировка

Пусть

• <math>u(t) \ge 0 \ </math>
• <math>f(t) \ge 0 \ </math>
• <math>u(t), f(t) \in C[t_0,\infty),</math>

при этом для <math>t \ge t_0 </math> выполняется неравенство:

<math>u(t) \leq c + \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1, \qquad (1)</math>

где <math>c</math> — положительная константа.

Тогда при <math>t \ge t_0 </math> имеем оценку:

<math>u(t) \le \, c \cdot \exp\int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1. \qquad (2)</math>

Доказательство

Из неравенства (1) получим:

<math>\frac{u(t)}{ c\ + \ \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1} \, \le 1</math>

и

<math>\frac{f(t)u(t)}{c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 }\, \le \, f(t), \qquad (3)</math>

А так как

<math>\frac{d}{dt} \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t} f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \bigg] = f(t)u(t),</math>

то, проинтегрировав неравенство (3) в пределах от <math>t_0</math> до <math>t</math>, получим:

<math>\ln \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1\bigg] \, - \, \ln c \, \le \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1.</math>

Отсюда, используя неравенство (1), получаем:

<math>u(t)\, \le \, c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \, \le \, c \, \exp \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1,</math>

что и требовалось доказать.

Усиленная лемма Гронуолла

Пусть функция <math>u(x)</math> неотрицательна и непрерывна в промежутке <math>\left [ x_{0}, x_{0}+h \right ]</math> и удовлетворяет там неравенству: <math>0 \leqslant u(x) \leqslant A+B\int_{x_{0}}^{x}u(t)dt + \varepsilon(x-x_{0}), A \geqslant 0, B \geqslant 0, \varepsilon \geqslant 0</math>. Тогда при <math>x \in \left [ x_{0}, x_{0}+h \right ]</math> справедливо неравенство: <math>u(x) \leqslant A e^{B(x-x_{0})}+\frac{\varepsilon}{B}(e^{B(x-x_{0})}-1)</math>.

Ссылки

• PlanetMath
• Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.