Русская Википедия:Лемма Накаямы
Лемма Накаямы — важная техническая лемма в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, следствие правила Крамера. Названа именем Тадаси Накаямы.
Формулировки
Она имеет множество эквивалентных формулировок. Вот одна из них: Шаблон:Рамка Пусть R — коммутативное кольцо с единицей 1, I — идеал в R, а M — конечнопорождённый модуль над кольцом R. Если IM = M, тогда существует a ∈ I такой, что для всякого m ∈ M am = m. Шаблон:Конец рамки
Доказательство леммы. Пусть <math>m_1,m_2,...,m_n</math> — образующие модуля M. Так как M = IM, каждый из них представим в виде
- <math>m_i = a_{i1}m_1 + a_{i2}m_2 + \dots + a_{in}m_n</math>, где <math>a_{ij}</math> — элементы идеала I. То есть <math>\sum\limits_{j} (\delta_{ij} - a_{ij})m_j = 0</math> (где <math>\delta_{ij}</math> - символ Кронекера) .
Из формулы Крамера для этой системы следует, что при всяком j
- <math>\operatorname{det}(\delta_{ij} - a_{ij}) \cdot m_j = 0</math>.
Так как <math>\operatorname{det}(\delta_{ij} - a_{ij})</math> представим в виде 1 − a, a из I, лемма доказана.
Следующее следствие из доказанного утверждения также известно как лемма Накаямы:
Следствие 1: Если в условиях леммы идеал I обладает свойством, что для каждого его элемента a элемент 1 − a обратим (например, это так, если I содержится в радикале Джекобсона), необходимо должно быть M = 0.
Доказательство. Существует элемент a идеала I, такой что aM = M, следовательно, (1 − a)M = 0, домножая слева на элемент, обратный к 1 − a, получаем, что M = 0.
Применение к модулям над локальными кольцами
Пусть R — локальное кольцо, <math>\mathfrak{m}</math> — максимальный идеал в R, M — конечнопорождённый R-модуль, и <math>\phi: M \to M/\mathfrak{m}M</math> — гомоморфизм факторизации. Лемма Накаямы даёт удобное средство для перехода от модуля M над локальным кольцом R к фактормодулю <math>M/\mathfrak{m}M</math>, которое есть конечномерное векторное пространство над полем <math>R/\mathfrak{m}</math>. Следующее утверждение также считается одной из форм леммы Накаямы, применительно к этому случаю: Шаблон:Рамка Элементы <math>m_1,m_2,...,m_n\in M</math> порождают модуль M тогда и только тогда, когда их образы <math>\phi(m_1),\phi(m_2),...,\phi(m_n)</math> порождают фактормодуль <math>M/\mathfrak{m}M</math>. Шаблон:Конец рамки
Доказательство. Пусть S — подмодуль в M, порождённый элементами <math>m_1,m_2,...,m_n </math>, Q = M/S — фактормодуль и <math>\pi: M \to Q</math> — гомоморфизм факторизации. Так как <math>\phi(m_1),\phi(m_2),...,\phi(m_n)</math> порождают фактормодуль <math>M/\mathfrak{m}M</math>, это означает, что для всякого <math>m\in M</math> существует <math>s\in S</math>, такой что <math>m-s\in \mathfrak{m}M</math>. Тогда <math>\pi(m) = \pi(m-s)\in \mathfrak{m}Q</math>. Поскольку <math>\pi</math> сюръективно, это означает, что <math>Q = \mathfrak{m}Q</math>. По лемме Накаямы (точнее, согласно Следствию 1) Q=0, то есть S=M.
Имеется ещё один вариант леммы Накаямы для модулей над локальными кольцами: Шаблон:Рамка Пусть <math>\phi:\,M\to N</math> — гомоморфизм конечнопорождённых R-модулей. Он индуцирует гомоморфизм фактормодулей <math>\phi_0:\,M/\mathfrak{m}M\to N/\mathfrak{m}N</math>. Эти гомоморфизмы сюръективны или не сюръективны одновременно. Шаблон:Конец рамки
На основе этой формы леммы Накаямы выводится следующая важная теорема: Шаблон:Рамка Всякий (конечнопорождённый) проективный модуль над локальным кольцом свободен. Шаблон:Конец рамки
Литература
См. также
