Русская Википедия:Лемма Нётер о нормализации
Лемма Нётер о нормализации — результат коммутативной алгебры играющий важную роль в основаниях алгебраической геометрии. Доказанa Эмми Нётер в 1926 году.
Эта лемма используется в доказательстве теоремы Гильберта о нулях. Также она является важным инструментом изучения размерности Крулля.
Формулировка
Для любого поля k и любой конечно порожденной коммутативной k -алгебры A существует неотрицательное целое число d и алгебраически независимые элементы y 1, y 2, ..., y d в A такие, что A конечно порожденный модуль над кольцом многочленов S = k[ y 1, y 2, ..., y d ].
Замечания
- Целое число d определяется однозначно; это размерность Крулля кольца A.
- В случае если A является областью целостности, то d также является степенью трансцендентности поля частных A над k.
Геометрическая интерпретация
За S можно взять координатное кольцо d-мерного аффинного пространства <math>\mathbb A^d_k</math>, а за A — координатное кольцо некоторого другого d -мерного аффинного многообразия X. Тогда отображение включения <math>S\to A</math> индуцирует сюръективный конечный морфизм аффинных многообразий <math>X\to \mathbb A^d_k</math>. Вывод состоит в том, что любое аффинное многообразие является разветвленным накрытием аффинного пространства.
Если поле k бесконечно, то такое разветвленное накрытие можно построить, взяв проекцию общего положения из аффинного пространства, содержащего X, на d-мерное подпространство.
Литература
- Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
- Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО, 2007.
