Русская Википедия:Лемма Синга
Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной.
Лемма является прямым следствием формулы для второй вариации длин однопараметрического семейства кривых. Она использовалась Джоном Сингом.[1]
Формулировка
Пусть <math>\gamma\colon[0;1]\to M</math> есть геодезическая в римановом многообразии <math>M</math> с положительной секционной кривизной и <math>V</math> параллельное поле касательных векторов на <math>\gamma</math>. Тогда вариация <math>\gamma</math> в направлении <math>V</math> сокращает её длину.
Более точно, если
- <math>\gamma_\tau(t)=\exp_{\gamma(t)}(\tau\cdot V(t))</math>
и <math>L(\tau)</math> обозначает длину кривой <math>\gamma_\tau</math> тогда <math>L'(0)=0</math> и <math>L(0)<0</math>.
Следствия
- Eсли замкнутая геодезическая допускающая параллельное векторное поле не является стабильной, то есть её длина может быть уменьшена произвольно малой деформацией. В частности,
- Чётномерные ориентированные римановы многообразия с положительной секционной кривизной односвязны.
- Нечётномерные римановы многообразия с положительной секционной кривизной ориентированны.
- Лемма Синга использовалась также Шаблон:Iw[2] для доказательства того, что если <math>V</math> и <math>W</math> являются замкнутыми геодезическими подмногобразиями в римановом многообразии <math>M</math> с положительной секционной кривизной и <math>\dim V+\dim W\ge \dim M</math> то <math>V</math> и <math>W</math> пересекаются.
Примечания
