Русская Википедия:Лемма о трезубце
Лемма о трезубце, также называемая леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами вписанной, вневписанной и описанной окружностей треугольника.
Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.
Название «лемма Мансиона» было дано в честь бельгийского математика Поля Мансьона. Название же «лемма о трезубце» было дано благодаря сходству с одноимённым оружием ключевой для леммы конструкции (красная на рисунках ниже).
Формулировка
Пусть у треугольника <math>ABC</math> точка <math>I</math> — центр вписанной окружности, точка <math>I_a</math> — центр вневписанной окружности, противоположной вершине <math>A</math>, а точка <math>L</math> — точка пересечения отрезка <math>II_a</math> с дугой описанной окружности (см. справа). Тогда точка <math>L</math> равноудалена от <math>I</math>, <math>I_a</math>, <math>B</math> и <math>C</math>.
Частные варианты этого утверждения носят различные названия
- Теорема Мансиона[1]: <math>L</math> равноудалена от <math>I</math> и <math>I_a</math>.
- Лемма о трилистнике[2], или лемма о трезубце[3], или лемма Мансиона[4]: <math>L</math> равноудалена от <math>I</math>, <math>B</math> и <math>C</math>.
- Лемма о трезубце[5]: <math>L</math> равноудалена от <math>I</math>, <math>I_a</math>, <math>B</math> и <math>C</math>.
Другой вариант задания точки <math>L</math> — как центра дуги <math>BC</math> описанной окружности, не содержащей точки <math>A</math>[4].
Доказательство
Под <math>\angle A, \angle B</math> будем понимать углы <math>\angle BAC, \angle ABC</math> соответственно. Если луч <math>AI</math> пересекает описанную окружность в точке <math>L</math>, то <math>L</math> является средней точкой дуги <math>BC</math>, отрезок <math>AL</math> является биссектрисой угла <math>\angle A</math>. Проведя отрезок <math>BI</math>, заметим, что
- <math>\angle BIL = \angle A / 2 + \angle B/ 2,</math>
потому что <math>\angle BIL</math> внешний к треугольнику <math>\triangle AIB</math>, а также
- <math>\angle LBI = \angle LBC + \angle CBI = \angle A/2 + \angle B/2, </math> потому что <math>\angle LBC </math> и <math>\angle LAC = \angle A/2 </math> равны, так как опираются на одну дугу <math>LC </math>.
Значит, треугольник <math>\triangle BLI </math> равнобедренный, т.е, <math>BL = LI. </math> Равенство <math>CL = BL </math> следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол <math>\angle A/2.</math> Таким образом, <math>BL = LI = LC. </math>
Мы показали, что <math>BL = LI = LC </math>. Теперь докажем что «ручка» трезубца <math>LI_a </math> равна этой же величине.
Продлим сторону <math>AB</math> за точку <math>B</math> и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку <math>E</math>. Под <math>\angle A</math> будем понимать <math>\angle BAC,</math> под <math>\angle B</math> будем иметь в виду угол <math>\angle EBC = 180^\circ - \angle ABC.</math>
Тогда нам нужно понять, что треугольник <math>\triangle BLI_a</math> равнобедренный, то есть, что <math>\angle LBI_a = \angle LI_aB</math>.
С одной стороны,
- <math>\angle LBI_a = \angle B/2 - \angle A/2</math>
и
- <math>\angle EBI_a = \angle A/2 + \angle BI_aA </math> так как <math>\angle EBI_a </math> внешний в треугольнике :<math>\triangle BI_aA, </math> т.е, <math>\angle B/2 - \angle A/2 = \angle BI_aA </math>
Вариации и обобщения
- Лемма о трезубце для двух центров вневписанных окружностей («внешняя» лемма о трезубце)
Связь с окружностью Эйлера
Через лемму о трезубце можно доказать существование окружности Эйлера.
Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники <math>AH_cHH_b</math>, <math>BH_cHH_a</math>, <math>H_bHH_aC</math> вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы <math>\measuredangle HH_bH_c =\measuredangle HAH_c =\measuredangle HCH_a = \measuredangle HH_bH_a</math> (рис 2).
Из этого следует, что <math>H_bH </math> — биссектриса в треугольнике <math>\triangle H_cH_bH_a </math>. По совершенно аналогичным причинам <math>H_aH </math> и <math>H_cH </math> тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что <math>AB, </math> <math>BC, </math> <math>CA </math> — внешние биссектрисы к треугольнику <math>\triangle H_cH_bH_a </math> (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).
Из этого получим, что середины отрезков <math>HA, HB, HC </math> лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).
Получим, что середины сторон <math>AB, BC, CA </math> лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.
Замечание
Для того, чтобы доказать существование окружности Эйлера для тупоугольного треугольника <math>ABC </math> c тупым углом <math>A </math>, достаточно рассмотреть остроугольный треугольник <math>BCH </math> с ортоцентром <math>A </math>, и применить к нему те же рассуждения.
См. также
- Формула Эйлера
- Теорема Мансиона
- Вписанная окружность
- Вневписанная окружность
- Инцентр
- Окружность
- Описанная окружность
- Конфигурация Джонсона
- Теорема Фусса
Примечания
- ↑ Задача 52395 Шаблон:Wayback // «Система задач по геометрии Р. К. Гордина»
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ 4,0 4,1 Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
- Русская Википедия
- Страницы с неработающими файловыми ссылками
- Леммы
- Геометрия треугольника
- Классическая геометрия
- Планиметрия
- Замечательные точки треугольника
- Теоремы планиметрии
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Википедия
- Статья из Википедии
- Статья из Русской Википедии
