Русская Википедия:Лестничный оператор
Лестничный оператор — оператор, увеличивающий или уменьшающий собственное значение другого оператора — соответственно, повышающий оператор или понижающий оператор. Основное применение — в квантовой механике, где повышающий оператор называется оператором рождения, а понижающий — оператором уничтожения, используются для описания, в частности, квантового гармонического осциллятора и оператора углового момента[1].
Если два оператора <math>X</math> и <math>N</math> имеют коммутатор:
- <math>[N,X]=cX</math>
для некоторого скаляра <math>c</math>, то оператор <math>X</math> действует на другой оператор таким образом, что сдвигает собственное значение оператора <math>N</math> на <math>c</math>:
| n\rangle</math> | n\rangle</math> |
| n\rangle</math> | |
| n\rangle + cX|n\rangle</math> | |
| n\rangle + cX|n\rangle</math> | |
| n\rangle</math>. |
Другими словами, если <math>|n\rangle</math> является собственным вектором оператора <math>N</math> с собственным значением <math>n</math>, то <math>X|n\rangle</math> — собственное состояние <math>N</math> с собственным значением <math>n+c</math>. Повышающий оператор для <math>N</math> — оператор <math>X</math>, для которого <math>c</math> является вещественным положительным числом, а понижающий оператор — для которого число <math>c</math> вещественное отрицательное.
Если <math>N</math> — эрмитов оператор, то <math>c</math> должно быть вещественным, при этом эрмитово сопряжённый оператор от <math>X</math> подчиняется следующему коммутационному соотношению:
- <math>[N,X^\dagger] = -cX^\dagger</math>.
Также верно, что если <math>X</math> является понижающим оператором для <math>N</math>, то <math>X^\dagger</math> — повышающий оператор <math>N</math> (и обратное тоже верно).
Примечания
