Русская Википедия:Линейное уравнение
Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:
- в общей форме: <math>a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b = 0</math>;
- в канонической форме: <math>a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = -b</math>,
где <math>x_1, \ldots, x_n</math> — это переменные (или неизвестные) величины (также известные как корни линейного уравнения), а <math>b, a_1, \ldots, a_n</math> — постоянные или коэффициенты, которые являются действительными числами. Коэффициенты могут квалифицироваться как параметры при уравнении и могут быть любыми выражениями при условии, что сами по себе не содержат переменных. Чтобы уравнение имело смысл, коэффициенты <math>a_1, \ldots, a_n</math> не должны равняться нулю. Также линейное уравнение можно получить, если приравнять линейный многочлен к нулю над некоторым полем, откуда для многочлена берутся коэффициенты.
Решение уравнения — это нахождение таких значений переменных, которые при подстановке дали бы верное равенство. Если переменная всего одна, то для линейного уравнения существует только одно решение (при условии, что <math>a_1\ne 0</math>). Часто «линейным уравнением» называют именно подобные уравнения с одной «неизвестной». Если переменных две, то любое решение может быть проиллюстрировано и проверено с помощью прямоугольной системы координат в двумерном (евклидовом) пространстве. Решение одного линейного уравнения изображается как вертикальная прямая в прямоугольной системе координат для данного уравнения, но эта же прямая может быть иллюстрацией решения и другого уравнения. Каждая линия может рассматриваться как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными, поэтому подобные уравнения и называются линейными. В общем, множество решений линейного уравнения с n переменными образуют гиперплоскость (подпространство размерности n-1) в евклидовом пространстве с размерностью n.
Линейные уравнения применяются абсолютно во всех сферах математики и их приложениях в физике и инженерном деле отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо можно «приблизить» и упростить линейными уравнениями. Совокупность в виде двух и более линейных уравнений, для которой надо найти конкретное решение, является системой линейных алгебраических уравнений.
Уравнение с одной переменной
Математическое описание
Уравнение имеет вид: <math>ax+b=0,</math> его решение сводится к виду: <math>x=-\frac ba</math> в общем случае, когда Шаблон:Mvar. «Неизвестной» называется в данном случае переменная Шаблон:Mvar. Если Шаблон:Math, то возможны два варианта. В случае, если Шаблон:Mvar тоже равняется нулю, решений бесконечно много, поскольку любое число является решением. Но если Шаблон:Mvar, то у уравнения не может быть корней, поскольку <math>\not \exist x \in \mathbb R : 0 \cdot x = - b \ne 0</math>. В последнем случае подобное уравнение является Шаблон:Нп3 (т.е. нельзя подобрать переменную, чтобы было верным равенство)[1].
Примеры решения
Дано линейное уравнение в виде результата умножения двух чисел; известен один из множителей, второй неизвестен, но известен результат.
- <math>3 \cdot x = 24</math>
В данном случае для того, чтобы найти неизвестный множитель <math>x</math>, результат умножения 24 нужно разделить на известный множитель 3. Результатом операции деления будет 8 как корень данного уравнения.
- <math>x = \frac{24}{3} = 8</math>.
Линейное уравнение такого типа, как
- <math>0 \cdot x = 7,</math>
не имеет решения, так как результат умножения любого числа на 0 всегда даёт 0. Вместе с тем уравнение вида
- <math>0 \cdot x = 0</math>
имеет бесконечно много решений. Следовательно, для него <math>x</math> может быть любым числом.
Уравнение с двумя переменными
Описание в общей и канонической формах
В случае, если в уравнении есть две переменные, линейное уравнение можно представить в общей форме: <math>ax+by+c=0</math>, где переменными являются величины Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, а коэффициентами — Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. В канонической формах это уравнение имеет вид <math>Ax + By = C,</math> при Шаблон:Math и Шаблон:MathШаблон:Sfn.
Решением или корнями такого уравнения называют такую пару значений переменных <math>(x;y)</math>, которая обращает его в тождество. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество.
Существуют и другие формы линейного уравнения, к которым его можно привести с помощью простых алгебраических преобразований (прибавления одной и той же величины к уравнению, умножения или деления на одно и то же число, не равное нулю и т.д.)
Пример
Дано линейное уравнение:
- <math>3 \cdot x + 4 \cdot y = 12</math>
Для определения множества всех решений можно преобразовать уравнение в функцию с зависимостью <math>y</math> от <math>t</math>. В таком случае получится
- <math>x = t</math> и <math>y = (12 - 3 \cdot t)/4</math> при <math>t \in \mathbb{R}</math>
Так выводится график данной функции, включающий все пары x и y, обращающим уравнение в верное равенство:
- <math>f(x) = (12 - 3 \cdot x)/4 = -(3/4) \cdot x + 3</math>.
Линейная функция
В случае, если Шаблон:Math, то уравнение <math>ax+by+c=0</math> можно привести к такому виду, чтобы значение Шаблон:Mvar зависело от Шаблон:Mvar. Уравнение может быть представлено в таком случае в форме линейной функции <math>y = kx + m</math>, где <math>k=-\frac{a}{b};\ m=-\frac{c}{b}</math> (или сразу <math>y=-\frac ab x-\frac cb.</math>). График функции в данном случае (т.е. геометрическая модель или иллюстрация для данного уравнения) представляет собой прямую типа <math>y=kx+m</math>, где k — угловой коэффициент (он же <math>-\frac ab</math>), а m =<math>-\frac cb</math> — координата точки пересечения графика с осью y.
В математическом анализе линейными называются те функции, график которых является именно прямой. В линейной алгебре линейной называется функция, отображающая сумму на сумме изображений слагаемых. Таким образом, в линейной алгебре функция является линейной, если Шаблон:Math, а её график проходит через начало координат. Во избежание путаницы функции, графики которых являются произвольными линиями, называются аффинными.
Геометрический смысл
Шаблон:Кратное изображение Любая пара Шаблон:Math, являющаяся решением уравнения <math>ax+by+c=0</math>, может быть отражена в прямоугольной системе координат в виде точки в двумерном пространстве. В таком случае все решения уравнения формируют линию при условии, что Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar не равняются нулю. Верно и обратное, что каждая линия является множеством решений линейного уравнения. Само словосочетание «линейное уравнение» и имеет корни в соотношении между прямыми линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными представляет собой уравнение, все решения которого графически представляют собой линию.
В случае, если Шаблон:Math, линия является графиком функции Шаблон:Mvar, описанным выше. Если Шаблон:Math, то линия будет вертикальной, параллельной оси ординат (Шаблон:Mvar-оси), для уравнения <math>x=-\frac ca,</math>, которое не является графиком функции Шаблон:Mvar. Соответственно, если Шаблон:Math, то линия является графиком функции Шаблон:Mvar, а если Шаблон:Math — то горизонтальной линией, параллельной оси абсцисс, для уравнения <math>y=-\frac cb.</math>
Уравнение с тремя и более переменными
Линейное уравнение, в котором содержится больше двух переменных, может иметь форму типа <math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n + b=0.</math>. Коэффициент Шаблон:Mvar, иногда обозначаемый как Шаблон:Math, является свободным членом. Коэффициентами могут в таком случае называть все переменные типа Шаблон:Math при условии Шаблон:Math. В уравнениях с тремя неизвестными последние обозначаются буквами <math>x,\; y</math> и <math>z</math>.
Решение такого уравнения — такой Шаблон:Mvar-кортеж, замена каждого элемента в котором соответствующей переменной преобразовала бы уравнение в верное равенство. Чтобы уравнение имело смысл, хотя бы один коэффициент при переменной должен быть ненулевым. Если же все коэффициенты при переменных равняются нулю, то либо уравнение будет противоречивым (при Шаблон:Mvar) как не имеющее решений, либо же любой Шаблон:Nowrap будет решением данного уравнения. Все Шаблон:Mvar-кортежи, которые являются решением линейного уравнения с Шаблон:Nowrap — это координаты точек в системе координат для Шаблон:Math-размерной гиперплоскости в Шаблон:Nowrap евклидовом пространстве (или аффинном пространстве, если коэффициенты — комплексные числа или принадлежат любому полю). В случае трёх переменных эта гиперплоскость становится плоскостью (согласно одной из аксиом Евклидовой геометрии).
Если в линейном уравнении Шаблон:Math, тогда существует решение данного уравнения для Шаблон:Math <math>x_j = -\frac b{a_j} -\sum_{i\in \{1,\ldots,n\}, i\ne j} \frac {a_i}{a_j}x_i .</math> Если коэффициенты — вещественные числа, то таким образом определяется вещественнозначная функция для Шаблон:Нп3.
Пример
Дано линейное уравнение с тремя неизвестными:
- <math>3 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + x_3 = 7</math>
Решением данного уравнения будет являться плоскость, которой принадлежат три точки типа:
- <math>x_1 = t_1, \; x_2 = t_2, \; x_3 = 7 - 3 \cdot t_1 - 2 \cdot t_2</math> при <math>t_1, t_2 \in \mathbb{R}</math>.
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
Шаблон:Алгебраические уравнения
