Русская Википедия:Максимальные и минимальные элементы
Шаблон:Другие значения Элемент <math>M</math> частично упорядоченного множества <math>A</math> называется максимальным элементом, если
- <math>\forall a \in A\; (a \geqslant M \Rightarrow a=M).</math>
Аналогично, элемент <math>m\in A</math> называется минимальным, если
- <math>\forall a \in A\; (a \leqslant m \Rightarrow a=m).</math>
Записывается как <math>M = \max A</math> (соотв. свойство минимальности записывается как <math>m = \min A</math>). В случае линейно упорядоченного множества (например, в случае подмножества вещественной прямой <math>\R</math> с естественным порядком) понятие максимального (соотв. минимального) элемента совпадает с понятием наибольшего (соотв. наименьшего) элемента, но в общем случае эти понятия различаются: наибольший элемент всегда является максимальным, обратное не всегда верно, так как для максимального элемента могут существовать несравнимые с ним элементы.
Не существует максимального элемента подмножества <math>\R</math>, если оно не ограничено сверху. Даже если это множество ограничено сверху, максимального элемента также может не существовать (хотя и инфимум, и супремум существуют для любого ограниченного множества). Например, для интервала <math>A = \left( {a,b} \right)</math> не существует ни минимального, ни максимального элемента.
Литература
См. также
