Русская Википедия:Матрица Гильберта
В линейной алгебре матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:
- <math> H_{ij} = \frac{1}{i+j-1},
i, j = 1, 2, 3, ..., n </math>
Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:
- <math>H = \begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt] \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt] \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}.</math>
На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:
- <math> H_{ij} = \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, dx, </math>
то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.
Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно <math> \left\| \cdot \right\|_2 </math> - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 105.
История
Гильберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: «Предположим, что Шаблон:Nowrap — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл
- <math>\int_a^b P(x)^2 \,dx</math>
был бы меньше любого заданного числа ε > 0?» Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гильберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина интервала Шаблон:Nowrap.
Свойства
- Матрица Гильберта является симметричной положительно определённой матрицей. Более того, матрица Гильберта является вполне положительной матрицей.
- Матрица Гильберта является примером ганкелевой матрицы.
- Определитель матриц Гильберта может быть выражен явно, как частный случай определителя Коши. Определитель матрицы Гильберта n × n равен
- <math>\det(H)={{c_n^{\;4}}\over {c_{2n}}},</math>
где
- <math>c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i^{n-i}=\prod_{i=1}^{n-1} i!.</math>
Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность Шаблон:OEIS2C в OEIS). Он следует из равенства
- <math>{1 \over \det (H)}={{c_{2n}}\over {c_n^{\;4}}}=n!\cdot \prod_{i=1}^{2n-1} {i \choose [i/2]}.</math>
Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:
- <math>\det(H) \approx a_n\, n^{-1/4}(2\pi)^n \,4^{-n^2}</math>
где an сходится к константе <math>e^{1/4} 2^{1/12} A^{ - 3} \approx 0.6450 </math> при <math>n\rightarrow\infty</math>, где A — постоянная Глейшера-Кинкелина.
- Матрица, обратная к матрице Гильберта, может быть выражена в явном виде через биномиальные коэффициенты:
- <math>(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^2</math>
где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы <math>H^{-1}</math> — целые числа.
- Число обусловленности матрицы Гильберта n × n возрастает как <math>O((1+\sqrt{2})^{4n}/\sqrt{n})</math>.
Ссылки
- Шаблон:Citation. Перепечатано в Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
Шаблон:Вклад Давида Гильберта в науку
