Русская Википедия:Матрица Сильвестра
Матрица Сильвестра — матрица, позволяющая вычислить результант двух многочленов. Введена английским математиком Джеймсом Сильвестром.
Определение
Пусть даны многочлены
- <math> A(x) = \sum_{i=0}^{n}{a_i x^i} = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n </math>,
- <math> B(x) = \sum_{i=0}^{m}{b_i x^i} = b_0 + b_1 x + \ldots + b_m x^m </math>.
Тогда матрицей Сильвестра для этих многочленов будет квадратная матрица <math>(n+m) \times (n+m)</math> вида
- <math> S_{A,B} =
\begin{pmatrix} a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & \cdots & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_1 & a_0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_1 & a_0 \\ b_m & b_{m-1} & \cdots & \cdots & b_0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & b_m & \cdots & \cdots & b_1 & b_0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & b_m & \cdots & b_1 & b_0 \end{pmatrix} </math>. Количество строк матрицы, содержащих коэффициенты многочлена <math>a(x)</math>, равно <math>m</math>, а многочлена <math>b(x)</math> — <math>n</math>. Результант многочленов находится как определитель этой матрицы:
- <math> R(A,B) = \det S_{A,B} </math>.
Пример
Для многочленов
- <math> A(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0 </math>,
- <math> B(x) = b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0 </math>
матрица Сильвестра будет выглядеть так:
- <math>
S_{A,B} = \begin{pmatrix} a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & a_1 & a_0 \\ b_3 & b_2 & b_1 & b_0 & 0 \\ 0 & b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \end{pmatrix} </math>.
См. также
Ссылки
