Русская Википедия:Матрицы Гелл-Манна
Материал из Онлайн справочника
Ма́трицы Гелл-Ма́нна — генераторы группы SU(3). Названы по имени Мюррея Гелл-Манна. Всего их восемь:
<math>\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}</math> <math>\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}</math>
Каждому из восьми глюонов сопоставляется матрица Гелл-Манна.
Свойства
Произведение:
- <math>\lambda_a \lambda_b = \frac{2}{3}\delta_{ab}\mathbf{E}+d_{abc}\lambda_c+i f_{abc}\lambda_c</math>,
где
- <math>d_{abc}, f_{abc}</math> — структурные константы алгебры su(3);
- <math>\mathbf{E}</math> — единичная матрица 3×3;
- <math>\delta_{ab}</math> — символ Кронекера.
След произведения:
- <math> \operatorname{Sp}\; \lambda_a \lambda_b = 2 \delta_{ab} </math>,
- <math>[\lambda_a,\lambda_b]_{-} = 2 i f_{abc}\lambda_c</math>
Антикоммутатор:
- <math>[\lambda_a \lambda_b]_{+} = \frac{4}{3}\delta_{ab}\mathbf{E}+2 d_{abc}\lambda_c</math>
Также для матриц Гелл-Манна выполняются тождества Фирца.
См. также
Литература